Uma pessoa passa em uma porta de retorno automático de alumínio com altura de 80 cm e largura de 30 cm , e deseja que a mesma feche (que vá da posição angular de 60 graus para 2 graus em um tempo não maior do que 0.5 segundos e que não ocorra impacto). A espessura da porta é de 5 mm .
a) Calcule uma suspensão para esse sistema (rigidez e amortecedores torcionais).
b) Utilizando metade da constante de amortecimento, a portaria fecharia mais rápido e sem impacto?
c) Utilizando o dobro da constante de amortecimento, a portaria fecharia mais rápido e sem impacto?
a) Calcule uma suspensão para esse sistema (rigidez e amortecedores torcionais).
b) Utilizando metade da constante de amortecimento, a portaria fecharia mais rápido e sem impacto?
c) Utilizando o dobro da constante de amortecimento, a portaria fecharia mais rápido e sem impacto?
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado pede e os dados que temos (tudo que vem do enunciado). O objetivo é projetar uma “suspensão” (rigidez e amortecimento torcionais) para uma porta de alumínio que parta de
e deva atingir
em no máximo
sem ocorrer impacto (ou seja, sem ultrapassar a posição de fechamento de forma oscilatória). Dados geométricos e materiais (peguei estes do enunciado):
- altura da porta:
. - largura (distância do eixo até a borda):
. - espessura:
. - material: alumínio, densidade aproximada
(valor padrão usado para alumínio). - ângulo inicial:
. - ângulo alvo (tolerância):
. - tempo limite:
.
O que o enunciado pede, explicitamente:
a) projetar rigidez torcional e amortecimento torcional
para atender o requisito (fechar de
para
em
s sem impacto);
b) avaliar se usando metade do amortecimento projetado a porta fecharia mais rápido e sem impacto;
c) avaliar se usando o dobro do amortecimento projetado a porta fecharia mais rápido e sem impacto.
a) projetar rigidez torcional
b) avaliar se usando metade do amortecimento projetado a porta fecharia mais rápido e sem impacto;
c) avaliar se usando o dobro do amortecimento projetado a porta fecharia mais rápido e sem impacto.
Passo 2
Modelagem física simplificada e hipóteses (passo importantíssimo: sem isso não dá pra projetar). Vou modelar a porta como uma placa delgada rígida que gira em torno do eixo vertical na sua borda (modelo clássico para portas), comportando-se como um sistema massa-inércia rotacional com mola torsional e amortecedor torsional no pivô. As quantidades e equação do movimento:
- momento de inércia rotacional da porta em relação ao eixo pela borda (placa retangular fino girando em torno de uma das bordas paralelas à altura):
onde
é a massa da placa e
é a largura (distância do eixo até a borda).
- massa da placa:
onde
é densidade,
a altura,
a largura e
a espessura.
- equação de movimento (torcional):
considerando que a mola tem referência em
(porta fechada) e que estamos liberando a porta da posição
com velocidade inicial nula
. As incógnitas a projetar são
(N·m/rad) e
(N·m·s/rad).
Vou calcular
e
numericamente em seguida.
Passo 3
Cálculo da massa
e do momento de inércia
. (Aqui eu explico as fórmulas e cada passo numérico bem devagar.)
- Volume da placa:
.
- Massa:
- Momento de inércia em relação à borda (fórmula para placa delgada girando em torno de borda paralela à altura):
Calculo:
Portanto:
Passo 4
Escolha do critério de projeto do amortecimento e da rigidez. Explicação didática: para não ter impacto (isto é, para não ultrapassar a posição de fechamento com oscilação), precisamos evitar overshoot. No modelo linear de segunda ordem isso significa escolher razão de amortecimento
(sistema criticamente amortecido
ou sobreamortecido
). Entre as opções, o caso criticamente amortecido (
) é o mais rápido possível sem overshoot — ou seja, é a melhor escolha quando se quer o menor tempo de fechamento sem impacto. Portanto vou projetar para
(amortecimento crítico).
Relações fundamentais do sistema de segunda ordem (explicando o que é cada símbolo):
- frequência natural não amortecida:
onde
está em rad/s e mede a “rigidez dinâmica” do conjunto.
- razão de amortecimento:
Amortecimento crítico corresponde a
, ou seja
Então, ao escolher
satisfazendo o requisito de tempo, podemos obter
e
.
Passo 5
Determinar
exigido para que, no caso criticamente amortecido, a resposta livre partindo de
com velocidade inicial zero atinja
em
.
Para o caso criticamente amortecido (
) com condições
e
, a solução do movimento é (explicando a forma):
Aqui cada termo tem papel físico:
é a decaída exponencial, o fator
aparece por causa da multiplicidade das raízes do polinômio característico.
Queremos:
Dividindo ambos os lados por
(positivo), definimos a razão desejada:
Como
e
, a razão é
Para simplificar os cálculos defina
. Então a condição vira
com
e
.
Passo 6
Resolver numericamente a equação
para
(vou mostrar tentativa-erro controlada — método prático que se faz sem calculadora avançada).
Avaliação de alguns valores:
-
maior que . -
ainda maior. -
. Sabendo (tabela ou aproximação), dá — ainda ligeiramente maior que . -
. Com dá que é um pouco menor que .
Entre
e
a igualdade acontece. Uma estimativa razoável:
Assim:
(Interpretação: precisamos de uma frequência natural
cerca de
para que, criticamente amortecido, a placa decaia de
para
em
.)
Passo 7
Calcular
e
usando
e
.
- Rigidez torsional:
Substituindo dados:
Cálculo:
- Amortecimento crítico:
Resumo numérico do projeto (resultado do item a):
(estes valores correspondem ao caso criticamente amortecido que é o mais rápido sem overshoot).
Passo 8
Análise do item (b): e se usarmos metade do amortecimento projetado (isto é
) — a porta fecharia mais rápido e sem impacto?
Explicação da estratégia: manteremos a mesma rigidez
(logo a mesma
) e reduzimos o amortecimento para
. Então a nova razão de amortecimento será
portanto
(sistema subamortecido).
Resposta física curta: sistema subamortecido oscila e, portanto, haverá overshoot — isto é, a porta ultrapassará a posição de fechamento e muito provavelmente ocorrerá impacto (com velocidade não nula). Logo, mesmo que a primeira passagem pela posição de
possa acontecer antes de
, isso não satisfaz a exigência “sem impacto”. Vou mostrar cálculo numérico do valor em
para ilustrar.
No caso subamortecido (
) a resposta livre com
,
é:
onde
.
Com
e
:
Avaliação em
:
- fator exponencial:
. - argumento:
.
Calculando as funções trigonométricas (aproximações numéricas):
O fator multiplicador da seno é
.
Então o colchete vale aproximadamente
Multiplicando pelo expoente e por
obtemos
Com
,
Interpretação: em
o ângulo já é levemente negativo (ultrapassou o fechamento) — houve overshoot e portanto impacto (a porta bateu e passou). Mesmo se a amplitude numérica do overshoot for pequena, ocorreu ultrapassagem com velocidade não nula, logo NÃO se atende à condição “sem impacto”. Quanto ao tempo de primeira passagem por
: ele ocorre antes de
, mas como há overshoot, a condição de “sem impacto” não é satisfeita.
Conclusão do item (b): não — com metade do amortecimento a porta fica subamortecida, ocorrerá overshoot (impacto), ainda que a passagem inicial possa ser mais rápida.
Passo 9
Análise do item (c): e se usarmos o dobro do amortecimento projetado (
) — a porta fecharia mais rápido e sem impacto?
Novamente mantemos
fixo (logo
igual) e dobramos
. A nova razão de amortecimento será
portanto
(sistema sobreamortecido). Em sistemas com
não há overshoot (logo impacto é evitado), mas a resposta é mais lenta que o caso criticamente amortecido — na prática o aumento do amortecimento além do crítico torna o tempo de assentamento maior.
Vou calcular numericamente
para
para verificar se em
a porta já estaria dentro de
ou não.
Para
os autovalores do sistema são
Com
temos
, então
A resposta com
tem forma
onde os coeficientes
e
são obtidos das condições iniciais. Resolvendo (cálculo numérico mostrado):
-
. - As equações para
:
Da segunda obtemos
. Substituindo na primeira:
Numericamente:
(Valores arredondados).
Agora avaliar em
. O termo com
decai extremamente rápido (exponencial com coeficiente
), então é desprezível em
. Assim
Calculemos:
Portanto
Com
,
ou seja muito maior que
.
Interpretação: com o dobro do amortecimento (sobreamortecido) a resposta é mais lenta e em
a porta ainda estaria em torno de
, portanto não fecharia dentro do tempo pedido. A vantagem é que não há overshoot, logo não há impacto; a desvantagem é que fica mais lento do que o caso crítico.
Conclusão do item (c): não — com o dobro do amortecimento a porta NÃO fecharia mais rápido; fecharia mais devagar, porém sem impacto.
Passo 10
Resumo físico e recomendações práticas (curto): o projeto ideal para cumprir simultaneamente "chegar a
em
" e “sem impacto” é escolher amortecimento crítico (
), o que levou aos valores calculados no Passo 7. Reduzir o amortecimento (metade) acelera passagens mas causa overshoot (impacto). Aumentar o amortecimento (dobro) evita overshoot mas torna o fechamento mais lento, não atendendo o requisito de tempo.
Resposta
a)
(projeto criticamente amortecido).
b) Não — com metade do amortecimento o sistema fica subamortecido ( ); haverá overshoot (impacto), mesmo que a primeira passagem ocorra rapidamente.
c) Não — com o dobro do amortecimento o sistema fica sobreamortecido ( ) e fecha mais devagar (em
estaria ainda em
), porém sem impacto.
b) Não — com metade do amortecimento o sistema fica subamortecido (
c) Não — com o dobro do amortecimento o sistema fica sobreamortecido (