Mostre analiticamente e geometricamente que existem números r e s tais que \vec{w}=r \vec{u}+s \vec{v} onde
\vec{u}=(5,1), \vec{v}=(3,5) e \vec{w}=(5,4).

Passo 1

O enunciado quer mostrar que existe \,r e \,s tais que
\vec w = r\,\vec u + s\,\vec v
onde \vec u=(5,1), \vec v=(3,5) e \vec w=(5,4).
O conteúdo envolvido é decompor \vec w em combinação linear de \vec u e \vec v, o que leva a resolver um sistema linear 2\times 2 e a interpretar geometricamente essa combinação no plano.

Passo 2

Para garantir que a combinação linear seja única, verificamos que \vec u e \vec v são linearmente independentes.
O determinante da matriz cujas colunas são \vec u e \vec v é
\det\begin{pmatrix}5 & 3\\[6pt]1 & 5\end{pmatrix} =5\cdot5 - 1\cdot3 =25 - 3 =22 \neq 0.
Como o determinante é não nulo, \vec u e \vec v formam base de \mathbb R^2 e qualquer vetor, em particular \vec w, pode ser escrito de modo único como combinação r\vec u+s\vec v.]

Passo 3

Escrevemos a equação componente a componente. Se
r\,(5,1)+s\,(3,5)=(5,4),
então
\begin{cases} 5r + 3s = 5,\\[4pt] \;r + 5s = 4. \end{cases}
Usando eliminação ou Regra de Cramer, com \Delta=22,
r = \frac{\det\!\begin{pmatrix}5 & 3\\[3pt]4 & 5\end{pmatrix}}{22} = \frac{5\cdot5 - 3\cdot4}{22} = \frac{25 - 12}{22} = \frac{13}{22},
s = \frac{\det\!\begin{pmatrix}5 & 5\\[3pt]1 & 4\end{pmatrix}}{22} = \frac{5\cdot4 - 5\cdot1}{22} = \frac{20 - 5}{22} = \frac{15}{22}.]

Passo 4

Geometricamente, como \vec u e \vec v não são colineares, elas formam um paralelogramo básico na origem que gera todo o plano. O vetor \vec w pode ser obtido andando primeiro r vezes \vec u a partir da origem e depois s vezes \vec v. O fato de r>0 e s>0 mostra que \vec w fica dentro do paralelogramo formado pelos vetores \vec u e \vec v. Essa construção ilustra geometricamente a combinação linear encontrada:
– Parto da origem e traço r\vec u.
– Do ponto obtido, traço s\vec v.
O ponto final é precisamente (5,4), ou seja, o vetor \vec w.

Resposta

r = \frac{13}{22}, \quad s = \frac{15}{22}.

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