Mostre analiticamente e geometricamente que existem números
e
tais que
onde
e
.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que existe
e
tais que
onde
,
e
.
O conteúdo envolvido é decompor em combinação linear de
e
, o que leva a resolver um sistema linear
e a interpretar geometricamente essa combinação no plano.
O conteúdo envolvido é decompor
Passo 2
Para garantir que a combinação linear seja única, verificamos que
e
são linearmente independentes.
O determinante da matriz cujas colunas são e
é
O determinante da matriz cujas colunas são
Como o determinante é não nulo,
e
formam base de
e qualquer vetor, em particular
, pode ser escrito de modo único como combinação
.]
Passo 3
Escrevemos a equação componente a componente. Se
então
Usando eliminação ou Regra de Cramer, com
,
Passo 4
Geometricamente, como
e
não são colineares, elas formam um paralelogramo básico na origem que gera todo o plano. O vetor
pode ser obtido andando primeiro
vezes
a partir da origem e depois
vezes
. O fato de
e
mostra que
fica dentro do paralelogramo formado pelos vetores
e
. Essa construção ilustra geometricamente a combinação linear encontrada:
– Parto da origem e traço .
– Do ponto obtido, traço .
O ponto final é precisamente , ou seja, o vetor
.
– Parto da origem e traço
– Do ponto obtido, traço
O ponto final é precisamente