Mostre que o ângulo entre as projeções Proj _{w} u e Proj _{w} v é igual ao ângulo entre os vetores u e v.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados três vetores não nulos u,v,w em um espaço com produto interno, o ângulo entre \mathrm{Proj}_{u}w e \mathrm{Proj}_{v}w é igual ao ângulo entre u e v. Vamos usar a definição de projeção ortogonal e a fórmula do cosseno do ângulo em termos do produto interno.

Passo 2

Recordando definições:
– A projeção de w sobre u é
\mathrm{Proj}_{u}w = \frac{\langle w,u\rangle}{\|u\|^{2}}\,u.
– O cosseno do ângulo \varphi entre dois vetores a e b é
\cos\varphi = \frac{\langle a,b\rangle}{\|a\|\;\|b\|},\qquad \varphi\in[0,\pi].

Passo 3

Escrevendo
\mathrm{Proj}_{u}w = \alpha\,u,\quad \text{com }\alpha = \frac{\langle w,u\rangle}{\|u\|^{2}},
\mathrm{Proj}_{v}w = \beta\,v,\quad \text{com }\beta = \frac{\langle w,v\rangle}{\|v\|^{2}}.

Passo 4

O produto interno entre as projeções é
\langle \mathrm{Proj}_{u}w,\mathrm{Proj}_{v}w\rangle = \langle \alpha u,\beta v\rangle = \alpha\,\beta\,\langle u,v\rangle.
E seus comprimentos são
\|\mathrm{Proj}_{u}w\| = |\alpha|\,\|u\|,\qquad \|\mathrm{Proj}_{v}w\| = |\beta|\,\|v\|.

Passo 5

O cosseno do ângulo \theta entre \mathrm{Proj}_{u}w e \mathrm{Proj}_{v}w fica
\cos\theta = \frac{\langle \mathrm{Proj}_{u}w,\mathrm{Proj}_{v}w\rangle} {\|\mathrm{Proj}_{u}w\|\;\|\mathrm{Proj}_{v}w\|} = \frac{\alpha\,\beta\,\langle u,v\rangle} {|\alpha|\,\|u\|\;|\beta|\,\|v\|} = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\;\|v\|}\;\cdot\frac{\alpha\beta}{|\alpha\beta|}.
Como \theta e o ângulo \varphi entre u e v estão em [0,\pi], o sinal extra só inverte a direção mas não altera o ângulo mínimo, e assim
|\cos\theta| = \frac{|\langle u,v\rangle|}{\|u\|\;\|v\|} = |\cos\varphi|.

Passo 6

Concluímos que \theta=\varphi, ou seja, o ângulo entre \mathrm{Proj}_{u}w e \mathrm{Proj}_{v}w é o mesmo ângulo entre u e v.

Resposta

O ângulo entre \mathrm{Proj}_{u}w e \mathrm{Proj}_{v}w coincide com o ângulo entre u e v.

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