Mostre que o ângulo entre as projeções Proj
e Proj
é igual ao ângulo entre os vetores u e v.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados três vetores não nulos
em um espaço com produto interno, o ângulo entre
e
é igual ao ângulo entre
e
. Vamos usar a definição de projeção ortogonal e a fórmula do cosseno do ângulo em termos do produto interno.
Passo 2
Recordando definições:
– A projeção de sobre
é
– A projeção de
– O cosseno do ângulo
entre dois vetores
e
é
Passo 3
Escrevendo
Passo 4
O produto interno entre as projeções é
E seus comprimentos são
Passo 5
O cosseno do ângulo
entre
e
fica
Como
e o ângulo
entre
e
estão em
, o sinal extra só inverte a direção mas não altera o ângulo mínimo, e assim
Passo 6
Concluímos que
, ou seja, o ângulo entre
e
é o mesmo ângulo entre
e
.
Resposta
O ângulo entre
e
coincide com o ângulo entre
e
.