Prove que:
\mathrm{v} \cdot \operatorname{Proj}_{\mathrm{u}} \mathrm{w}=\operatorname{Proj}_{\mathrm{u}} \mathrm{v} \cdot \mathrm{w}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas três vetores não nulos u,v,w em um espaço euclidiano, vale a igualdade
v\cdot \operatorname{Proj}_u w \;=\;\operatorname{Proj}_u v\;\cdot\;w.
O conteúdo envolve a definição de projeção ortogonal de um vetor sobre outro e as propriedades do produto escalar.

Passo 2

Recordamos a definição de projeção ortogonal de w sobre u. Se u\neq 0, então
\operatorname{Proj}_u w \;=\;\frac{u\cdot w}{u\cdot u}\;u.

Passo 3

Usando essa definição, calculamos o lado esquerdo:
v\cdot \operatorname{Proj}_u w =\;v\cdot\Bigl(\frac{u\cdot w}{u\cdot u}\,u\Bigr) =\;\frac{u\cdot w}{u\cdot u}\,\bigl(v\cdot u\bigr).

Passo 4

Do mesmo modo, para o lado direito usamos a projeção de v sobre u:
\operatorname{Proj}_u v\;\cdot\;w =\;\Bigl(\frac{u\cdot v}{u\cdot u}\,u\Bigr)\cdot w =\;\frac{u\cdot v}{u\cdot u}\,\bigl(u\cdot w\bigr).

Passo 5

Basta notar que o produto escalar é comutativo, isto é, v\cdot u = u\cdot v. Logo,
\frac{u\cdot w}{u\cdot u}\,(v\cdot u) =\frac{u\cdot w}{u\cdot u}\,(u\cdot v) =\frac{u\cdot v}{u\cdot u}\,(u\cdot w),
e assim
v\cdot \operatorname{Proj}_u w =\operatorname{Proj}_u v\cdot w.

Resposta

Está demonstrado que
v\cdot \operatorname{Proj}_u w =\operatorname{Proj}_u v\cdot w.

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