Mostre que a aplicação da equação de Maxwell-Stefan, para uma mistura binária, ideal e a temperatura e pressão constante, recai na Lei de Fick.
Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente mostrar que, num sistema binário ideal a T e P constantes, a famosa equação de Maxwell–Stefan dá na Lei de Fick. Então vamos usar:
• Conteúdo: termodinâmica de misturas (potenciais químicos) + velocidade de difusão e fluxo molar.
• O que precisamos:
• Conteúdo: termodinâmica de misturas (potenciais químicos) + velocidade de difusão e fluxo molar.
• O que precisamos:
- A forma da equação de Maxwell–Stefan para dois componentes.
- A relação do potencial químico num gás ideal (
). - A definição de fluxo molar relativo à velocidade média da mistura.
A partir do próximo passo partimos para valer na conta!
Passo 2
Escrevendo a equação de Maxwell–Stefan para uma mistura binária (componentes 1 e 2), a gente tem:
Aqui:
• é o potencial químico do componente 1.
• fração molar de i.
• velocidade molar de i.
• difusividade de Maxwell–Stefan.
•
•
•
•
Passo 3
Agora usamos que a mistura é ideal e T constante, então
Substituindo em Maxwell–Stefan:
Você pode cancelar o
e isolar
:
[
-,\frac{\nabla x_1}{x_1}
;=;
\frac{x_1 x_2}{\mathcal{D}_{12}},(\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2)
\quad\Longrightarrow\quad
\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2
-;\frac{\mathcal{D}_{12}}{x_1,x_2};\frac{\nabla x_1}{,1,}.
]
]
Passo 4
Queremos o fluxo molar do componente 1 em relação à velocidade média da mistura. Definimos:
O fluxo molar de 1 é
Substituindo
:
Passo 5
Por fim, como a mistura binária ideal a P e T constantes tem concentração total
fixa, a variação de fração molar está ligada à variação de concentração molar
:
Logo
que é exatamente a Lei de Fick para o componente 1.
Resposta
A equação de Maxwell–Stefan para mistura binária ideal, T e P constantes, reduz-se a
ou seja, à Lei de Fick.