Mostre que a aplicação da equação de Maxwell-Stefan, para uma mistura binária, ideal e a temperatura e pressão constante, recai na Lei de Fick.

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente mostrar que, num sistema binário ideal a T e P constantes, a famosa equação de Maxwell–Stefan dá na Lei de Fick. Então vamos usar:
• Conteúdo: termodinâmica de misturas (potenciais químicos) + velocidade de difusão e fluxo molar.
• O que precisamos:
  1. A forma da equação de Maxwell–Stefan para dois componentes.
  2. A relação do potencial químico num gás ideal ( ).
  3. A definição de fluxo molar relativo à velocidade média da mistura.
A partir do próximo passo partimos para valer na conta!

Passo 2

Escrevendo a equação de Maxwell–Stefan para uma mistura binária (componentes 1 e 2), a gente tem:
-,nabla μ1 ;=; RT,x1,x2D12;l(v1 - v2r)
Aqui:
é o potencial químico do componente 1.
fração molar de i.
velocidade molar de i.
difusividade de Maxwell–Stefan.

Passo 3

Agora usamos que a mistura é ideal e T constante, então
μ1 = μ1^0 + RT,ln x1 Longrightarrow nabla μ1 ;=; RT,nabla(ln x1);=;RT,nabla x1x1
Substituindo em Maxwell–Stefan:
-,RT,nabla x1x1 ;=; RT,x1,x2D12,(v1 - v2)
Você pode cancelar o -,nabla x1x1 ;=; x1 x2D12,(v1 - v2) Longrightarrow v1 - v2 = -;D12x1,x2;nabla x1,1, e isolar :
[
-,\frac{\nabla x_1}{x_1}
;=;
\frac{x_1 x_2}{\mathcal{D}_{12}},(\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2)
\quad\Longrightarrow\quad
\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2

-;\frac{\mathcal{D}_{12}}{x_1,x_2};\frac{\nabla x_1}{,1,}.
]

Passo 4

Queremos o fluxo molar do componente 1 em relação à velocidade média da mistura. Definimos:
vmistura ;=; x1,v1 + x2,v2 Longrightarrow v1 - vmistura = x2,(v1 - v2)
O fluxo molar de 1 é
J1 = c,x1,l(v1 - vmisturar) = c,x1,x2,(v1 - v2)
Substituindo J1 = c,x1,x2 l(-,D12x1,x2,nabla x1r) = -,c,D12,nabla x1 :

Passo 5

Por fim, como a mistura binária ideal a P e T constantes tem concentração total c1 = c,x1 Longrightarrow nabla x1 = nabla c1c fixa, a variação de fração molar está ligada à variação de concentração molar J1 = -,c,D12,nabla x1 = -,c,D12,nabla c1c = -,D12,nabla c1, :
Logo
que é exatamente a Lei de Fick para o componente 1.

Resposta

A equação de Maxwell–Stefan para mistura binária ideal, T e P constantes, reduz-se a
boxedJ1 ;=; -,D12,nabla c1,
ou seja, à Lei de Fick.

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