(
) Mostre que, após atingida a velocidade terminal, a energia dissipada na barra por efeito Joule é igual à taxa de perda de energia potencial gravitacional do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, quando atingimos a velocidade terminal, a energia que é dissipada na barra pelo efeito Joule é igual à taxa de perda de energia potencial gravitacional do sistema. Nesse problema, estamos lidando com conceitos de dinâmica de fluidos e termodinâmica, especialmente envolvendo energia e potência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é velocidade terminal, efeito Joule, energia potencial gravitacional e como essas coisas se relacionam em termos de energia e potência.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a velocidade terminal. É a velocidade constante que um objeto atinge quando a força de resistência, como o arrasto do ar ou a força viscosa, equilibra a força que impulsiona o objeto para baixo, como a gravidade. Nesse ponto, a aceleração do objeto é zero porque as forças estão balanceadas.
Passo 3
Agora, sobre o efeito Joule, que é o aquecimento de um condutor pela passagem de corrente elétrica. A energia dissipada pelo efeito Joule é dada por $ P_J = I^2 R $, onde $ I $ é a corrente e $ R $ é a resistência elétrica da barra.
Passo 4
A energia potencial gravitacional de um sistema é a energia que ele possui devido à sua posição em um campo gravitacional, e a taxa de perda dessa energia quando o sistema está se movendo descendo é dada por $ \frac{dU}{dt} = m g v $, onde $ m $ é a massa, $ g $ é a aceleração da gravidade e $ v $ é a velocidade.
Passo 5
No estado de velocidade terminal, a energia que está sendo fornecida para o sistema está sendo completamente dissipada pela resistência, ou seja, a potência fornecida é igual à potência dissipada. Portanto, podemos igualar a potência dissipada pelo efeito Joule à taxa de perda de energia potencial gravitacional:
Passo 6
Então, mostramos que, quando o sistema atinge a velocidade terminal, a energia dissipada pela barra pelo efeito Joule ($ I^2 R
m g v $).
Resposta
Após atingir a velocidade terminal, a energia dissipada na barra pelo efeito Joule é igual à taxa de perda de energia potencial gravitacional do sistema, isto é: