( E ) Mostre que, após atingida a velocidade terminal, a energia dissipada na barra por efeito Joule é igual à taxa de perda de energia potencial gravitacional do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, quando atingimos a velocidade terminal, a energia que é dissipada na barra pelo efeito Joule é igual à taxa de perda de energia potencial gravitacional do sistema. Nesse problema, estamos lidando com conceitos de dinâmica de fluidos e termodinâmica, especialmente envolvendo energia e potência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é velocidade terminal, efeito Joule, energia potencial gravitacional e como essas coisas se relacionam em termos de energia e potência.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a velocidade terminal. É a velocidade constante que um objeto atinge quando a força de resistência, como o arrasto do ar ou a força viscosa, equilibra a força que impulsiona o objeto para baixo, como a gravidade. Nesse ponto, a aceleração do objeto é zero porque as forças estão balanceadas.

Passo 3

Agora, sobre o efeito Joule, que é o aquecimento de um condutor pela passagem de corrente elétrica. A energia dissipada pelo efeito Joule é dada por $ P_J = I^2 R $, onde $ I $ é a corrente e $ R $ é a resistência elétrica da barra.

Passo 4

A energia potencial gravitacional de um sistema é a energia que ele possui devido à sua posição em um campo gravitacional, e a taxa de perda dessa energia quando o sistema está se movendo descendo é dada por $ \frac{dU}{dt} = m g v $, onde $ m $ é a massa, $ g $ é a aceleração da gravidade e $ v $ é a velocidade.

Passo 5

No estado de velocidade terminal, a energia que está sendo fornecida para o sistema está sendo completamente dissipada pela resistência, ou seja, a potência fornecida é igual à potência dissipada. Portanto, podemos igualar a potência dissipada pelo efeito Joule à taxa de perda de energia potencial gravitacional:
I^2 R = m g v

Passo 6

Então, mostramos que, quando o sistema atinge a velocidade terminal, a energia dissipada pela barra pelo efeito Joule ($ I^2 R I^2 R éà m g v $).

Resposta

Após atingir a velocidade terminal, a energia dissipada na barra pelo efeito Joule é igual à taxa de perda de energia potencial gravitacional do sistema, isto é:
I^2 R = m g v

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