Mostre que se A, B, C são independentes, então
A^{c} \cup B é independente de C.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que o evento \,A^{c}\cup B\, é independente do evento \,C.
Informações dadas:
  • Os eventos A, B e C são independentes (isto é, há independência mútua).
  • Em particular, desta hipótese podemos usar as igualdades P(A\cap C)=P(A)P\text{(C)},\quad P(B\cap C)=P(B)P\text{(C)},e P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P\text{(C)}.

Passo 2

Recordando a definição que vamos usar: dois eventos X e Y são independentes se, e somente se,
P(X\cap Y)=P(X)\,P(Y).
Nosso objetivo reescrito em termos dessa definição é provar
P\bigl((A^{c}\cup B)\cap C\bigr)=P(A^{c}\cup B)\,P\text{(C)}.

Passo 3

Primeiro simplificamos a interseção usando a distributividade das operações de conjuntos:
(A^{c}\cup B)\cap C = (A^{c}\cap C)\cup (B\cap C).
Portanto
P\bigl((A^{c}\cup B)\cap C\bigr)=P\bigl((A^{c}\cap C)\cup (B\cap C)\bigr).

Passo 4

Aplicamos a fórmula da probabilidade da união (inclusão-exclusão) a X=A^{c}\cap C e Y=B\cap C:
P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cap Y).
Assim
P\bigl((A^{c}\cap C)\cup (B\cap C)\bigr)=P(A^{c}\cap C)+P(B\cap C)-P(A^{c}\cap B\cap C).

Passo 5

Vamos calcular cada um dos três termos no lado direito usando a independência dada.
Para P(A^{c}\cap C) usamos que P(A^{c}\cap C)=P\text{(C)}-P(A\cap C). Como A e C são independentes, P(A\cap C)=P(A)P\text{(C)}. Logo
P(A^{c}\cap C)=P\text{(C)}-P(A)P\text{(C)}=P\text{(C)}\bigl(1-P(A)\bigr)=P\text{(C)}\,P(A^{c}).

Passo 6

De modo análogo, pela independência de B e C,
P(B\cap C)=P(B)\,P\text{(C)}.
Para P(A^{c}\cap B\cap C) observamos que B\cap C se decompõe em (A\cap B\cap C) e (A^{c}\cap B\cap C), logo
P(A^{c}\cap B\cap C)=P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C).
Usando independência mútua temos P(B\cap C)=P(B)P\text{(C)} e P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P\text{(C)}. Portanto
P(A^{c}\cap B\cap C)=P(B)P\text{(C)}-P(A)P(B)P\text{(C)}=P(B)P\text{(C)}\bigl(1-P(A)\bigr)=P(B)P\text{(C)}P(A^{c}).

Passo 7

Substituindo essas expressões em
P\bigl((A^{c}\cap C)\cup (B\cap C)\bigr)=P(A^{c}\cap C)+P(B\cap C)-P(A^{c}\cap B\cap C),
obtemos
P\bigl((A^{c}\cup B)\cap C\bigr)=P\text{(C)}P(A^{c})+P\text{(C)}P(B)-P\text{(C)}P(B)P(A^{c}).
Fatorando P\text{(C)},
P\bigl((A^{c}\cup B)\cap C\bigr)=P\text{(C)}\bigl(P(A^{c})+P(B)-P(B)P(A^{c})\bigr).

Passo 8

Reconhecemos que, pela fórmula da união (inclusão-exclusão) sem o C,
P(A^{c}\cup B)=P(A^{c})+P(B)-P(A^{c}\cap B).
E como A^{c}\cap B tem probabilidade P(A^{c}\cap B)=P(B)P(A^{c}) (pode ver isso escrevendo P(A^{c}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)P(A^{c}) usando independência de A e B), segue que
P(A^{c}\cup B)=P(A^{c})+P(B)-P(B)P(A^{c}).
Portanto o fator entre parênteses no Passo 7 é exatamente P(A^{c}\cup B).

Passo 9

Substituindo, obtemos finalmente
P\bigl((A^{c}\cup B)\cap C\bigr)=P\text{(C)}\,P(A^{c}\cup B),
o que é exatamente a condição de independência entre A^{c}\cup B e C. Logo mostramos o que se pedia.

Resposta

P\bigl((A^{c}\cup B)\cap C\bigr)=P(A^{c}\cup B)\,P\text{(C)}

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