Mostre que se
são independentes, então
é independente de
.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que o evento
é independente do evento
.
Informações dadas:
- Os eventos
, e são independentes (isto é, há independência mútua). - Em particular, desta hipótese podemos usar as igualdades
e
Passo 2
Recordando a definição que vamos usar: dois eventos
e
são independentes se, e somente se,
Nosso objetivo reescrito em termos dessa definição é provar
Passo 3
Primeiro simplificamos a interseção usando a distributividade das operações de conjuntos:
Portanto
Passo 4
Aplicamos a fórmula da probabilidade da união (inclusão-exclusão) a
e
:
Assim
Passo 5
Vamos calcular cada um dos três termos no lado direito usando a independência dada.
Para
usamos que
. Como
e
são independentes,
. Logo
Passo 6
De modo análogo, pela independência de
e
,
Para
observamos que
se decompõe em
e
, logo
Usando independência mútua temos
e
. Portanto
Passo 7
Substituindo essas expressões em
obtemos
Fatorando
,
Passo 8
Reconhecemos que, pela fórmula da união (inclusão-exclusão) sem o
,
E como
tem probabilidade
(pode ver isso escrevendo
usando independência de
e
), segue que
Portanto o fator entre parênteses no Passo 7 é exatamente
.
Passo 9
Substituindo, obtemos finalmente
o que é exatamente a condição de independência entre
e
. Logo mostramos o que se pedia.