Mostre que se A, B, C são independentes, então
A \cup B é independente de C;

Passo 1

O enunciado diz: temos três eventos A, B e C e a hipótese é que A, B e C são independentes. A pergunta é: mostrar que \,A\cup B\, é independente de C.\n
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A, B e C são independentes (isto é a hipótese).
  • Precisamos verificar a independência entre dois eventos: A\cup B e C, ou seja, verificar se
P\big((A\cup B)\cap C\big)=P(A\cup B)\,P\text{(C)}.

Passo 2

Definição e consequência importante (aula rápida): quando dizemos que três eventos A, B e C são independentes (independência mútua), isto significa, por definição, que valem simultaneamente:
P(A\cap B)=P(A)P(B),
P(A\cap C)=P(A)P\text{(C)},
P(B\cap C)=P(B)P\text{(C)},
P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P\text{(C)}.
Note que a independência mútua implica as independências parciais acima (ou seja, pares são independentes). Vou usar exatamente essas igualdades na prova. Se ficar alguma dúvida do que cada termo significa: P(X) é a probabilidade do evento X, e P(X\cap Y) é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente X e Y.

Passo 3

Identidade de conjuntos útil (lembrete de álgebra de conjuntos):
(A\cup B)\cap C = (A\cap C)\cup (B\cap C).
Explicação curta: um elemento está em (A\cup B)\cap C se e só se está em C e (está em A ou em B); isso é exatamente estar em (A\cap C) ou em (B\cap C). Essa reescrita é a chave para aplicar a fórmula de probabilidade da união.

Passo 4

Fórmula da probabilidade da união de dois eventos (lembrando como usar):
Para quaisquer dois eventos X e Y vale
P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cap Y).
Aqui P(X\cap Y) evita contar em dobro a interseção quando somamos P(X) e P(Y). Vou aplicar essa fórmula ao par X=A\cap C e Y=B\cap C.

Passo 5

Aplicando a identidade do Passo 3 e a fórmula do Passo 4:
P\big((A\cup B)\cap C\big)=P\big((A\cap C)\cup(B\cap C)\big)
\quad =P(A\cap C)+P(B\cap C)-P\big((A\cap C)\cap(B\cap C)\big).
Agora observe que (A\cap C)\cap(B\cap C)=A\cap B\cap C. Portanto
P\big((A\cup B)\cap C\big)=P(A\cap C)+P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C).

Passo 6

Usando a independência mútua (Passo 2) para substituir cada termo por um produto:
P(A\cap C)=P(A)P\text{(C)},
P(B\cap C)=P(B)P\text{(C)},
P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P\text{(C)}.
Substituindo essas igualdades na expressão do Passo 5 obtemos
P\big((A\cup B)\cap C\big)=P(A)P\text{(C)}+P(B)P\text{(C)}-P(A)P(B)P\text{(C)}.

Passo 7

Fatorando P\text{(C)} na expressão do Passo 6:
P\big((A\cup B)\cap C\big)=P\text{(C)}\big(P(A)+P(B)-P(A)P(B)\big).
Agora note que, porque A e B são independentes (resultado da independência mútua), temos P(A\cap B)=P(A)P(B). Assim a probabilidade da união A\cup B é
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B).
Comparando com a expressão fatorada acima vemos que
P\big((A\cup B)\cap C\big)=P\text{(C)}\,P(A\cup B).
Isto é exatamente a condição de independência entre A\cup B e C. Portanto mostramos que A\cup B é independente de C.

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para você sentir no corpo do problema): suponha P(A)=0{,}3, P(B)=0{,}4, P\text{(C)}=0{,}5 e que A,B,C são independentes. Então
P(A\cup B)=0{,}3+0{,}4-0{,}3\cdot0{,}4=0{,}58,
e
P((A\cup B)\cap C)=0{,}58\cdot0{,}5=0{,}29.
Pela fórmula direta com interseções:
P(A\cap C)=0{,}3\cdot0{,}5=0{,}15,\quad P(B\cap C)=0{,}4\cdot0{,}5=0{,}20,
P(A\cap B\cap C)=0{,}3\cdot0{,}4\cdot0{,}5=0{,}06,
P((A\cap C)\cup(B\cap C))=0{,}15+0{,}20-0{,}06=0{,}29,
confere com 0{,}58\cdot0{,}5. Beleza — bate certinho.

Resposta

A\cup B é independente de C; isto é, P\big((A\cup B)\cap C\big)=P(A\cup B)\,P\text{(C)}.

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