Mostre que se
são independentes, então
é independente de
;
Passo 1
O enunciado diz: temos três eventos
,
e
e a hipótese é que
,
e
são independentes. A pergunta é: mostrar que
é independente de
.\n
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
-
, e são independentes (isto é a hipótese). - Precisamos verificar a independência entre dois eventos:
e , ou seja, verificar se
Passo 2
Definição e consequência importante (aula rápida): quando dizemos que três eventos
,
e
são independentes (independência mútua), isto significa, por definição, que valem simultaneamente:
Note que a independência mútua implica as independências parciais acima (ou seja, pares são independentes). Vou usar exatamente essas igualdades na prova. Se ficar alguma dúvida do que cada termo significa:
é a probabilidade do evento
, e
é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente
e
.
Passo 3
Identidade de conjuntos útil (lembrete de álgebra de conjuntos):
Explicação curta: um elemento está em
se e só se está em
e (está em
ou em
); isso é exatamente estar em
ou em
. Essa reescrita é a chave para aplicar a fórmula de probabilidade da união.
Passo 4
Fórmula da probabilidade da união de dois eventos (lembrando como usar):
Para quaisquer dois eventos e
vale
Para quaisquer dois eventos
Aqui
evita contar em dobro a interseção quando somamos
e
. Vou aplicar essa fórmula ao par
e
.
Passo 5
Aplicando a identidade do Passo 3 e a fórmula do Passo 4:
Agora observe que
. Portanto
Passo 6
Usando a independência mútua (Passo 2) para substituir cada termo por um produto:
Substituindo essas igualdades na expressão do Passo 5 obtemos
Passo 7
Fatorando
na expressão do Passo 6:
Agora note que, porque
e
são independentes (resultado da independência mútua), temos
. Assim a probabilidade da união
é
Comparando com a expressão fatorada acima vemos que
Isto é exatamente a condição de independência entre
e
. Portanto mostramos que
é independente de
.
Passo 8
Exemplo numérico rápido (para você sentir no corpo do problema): suponha
,
,
e que
são independentes. Então
e
Pela fórmula direta com interseções:
confere com
. Beleza — bate certinho.