(
pontos) Suponha
, onde
é estacionária com média igual a 0 , e variância igual a
, e
é uma variável aleatória, com média
e variância
, mas independente de
, e
é uma constante. Encontre:
a) A média de
, em termos das médias de
e
;
b) A fac de
, em termos da variância de
e facv de
.
c) A série
é estacionária? Justifique.
a) A média de
b) A fac de
c) A série
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (vou organizar tudo para ficarmos tranquilos sobre o que foi pedido). Temos a série temporal
com as seguintes informações:
-
é uma constante (determinística). -
é uma variável aleatória (sem índice ), com média e variância . Observação: como não aparece em , ele é o mesmo valor aleatório para todos os tempos (um deslocamento aleatório comum a toda a série). -
é um processo estacionário com e . Denotarei a função de autocovariância de por . - Além disso, foi dito que
é independente de .
O que nos pedem:
a) Calcular a média de em termos das médias de
e
.
b) Determinar a função de autocovariância (fac) de , em termos da variância de
e da fac (autocovariância) de
.
c) Dizer se a série é estacionária e justificar a resposta.
a) Calcular a média de
b) Determinar a função de autocovariância (fac) de
c) Dizer se a série
Passo 2
Cálculo da média de
. Vou lembrar e usar uma propriedade básica e muito útil: a esperança (média) é linear. Isso significa que, para variáveis aleatórias
e
e constante
,
Aplicando essa propriedade a
, obtemos
Sabemos que
(constante),
(dado) e
(dado). Assim,
Esse é o valor da média de
, independente de
.
Passo 3
Definição e cálculo da função de autocovariância de
. Primeiro a definição: a função de autocovariância (fac) de um processo
é
No caso de
, usando linearidade da covariância em cada argumento e que a covariância com constante é zero, escrevo
Como
, isso reduz para
Agora uso a bilinearidade da covariança:
Pelo enunciado,
é independente de
, logo
. Além disso,
e
. Portanto
Observação útil: para
temos a variância
onde usei
.
Passo 4
Resposta à pergunta de estacionaridade (explicando o conceito e aplicando ao caso). Vou separar dois conceitos que aparecem com frequência: estacionaridade estrita (ou forte) e estacionaridade de segunda ordem (também chamada de fraca ou covariancial).
-
Estacionaridade de segunda ordem (fraca): requer que a média seja constante no tempo e que a função de autocovariância dependa apenas do defasamento
(e não do tempo absoluto ).
Já calculamos que, que é constante em . Também mostramos que , que depende apenas de (porque é constante e depende só de , por hipótese de estacionaridade de ). Logo os dois requisitos da estacionaridade de segunda ordem estão satisfeitos. Conclusão: é estacionária no sentido de segunda ordem. -
Estacionaridade estrita: exige que para qualquer
e qualquer conjunto de instantes a distribuição conjunta de seja invariante por deslocamento no tempo. Se for estritamente estacionário e for independente de , então e têm a mesma distribuição; como é o mesmo valor adicionado a todas as coordenadas e não depende de , somar (e a constante ) a cada componente não altera essa invariância por deslocamento. Portanto, sob a hipótese adicional de que seja estritamente estacionário, também será estritamente estacionário. Se só sabemos que é estacionário no sentido de segunda ordem, podemos afirmar com certeza que é estacionária de segunda ordem (como já concluí).
Resumo intuitivo e motivador:
atua como um deslocamento aleatório fixo no tempo (um “offset” comum a toda a série). Esse deslocamento não cria dependência temporal nova que dependa do tempo absoluto — só soma uma constante aleatória a todos os instantes — por isso não estraga a estacionaridade (pelo menos a fraca; e nem a estrita se
for estritamente estacionário).
Resposta
a)
b) (e, em particular,
).
c) Sim: é estacionária no sentido de segunda ordem, pois tem média constante e
depende apenas de
. Se
for estritamente estacionário, então
também é estritamente estacionário.
b)
c) Sim: