( \mathbf{2} pontos) Suponha Z_{t}=C+Y+X_{t}, onde X_{t} é estacionária com média igual a 0 , e variância igual a \sigma^{2}, e Y é uma variável aleatória, com média \mu_{y} e variância \sigma_{y}^{2}, mas independente de X_{t}, e C é uma constante. Encontre:
a) A média de Z_{t}, em termos das médias de Y e X_{t};
b) A fac de Z_{t}, em termos da variância de Y e facv de X_{t}.
c) A série Z_{t} é estacionária? Justifique.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (vou organizar tudo para ficarmos tranquilos sobre o que foi pedido). Temos a série temporal
Z_{t}=C+Y+X_{t},
com as seguintes informações:
  • \;C é uma constante (determinística).
  • \;Y é uma variável aleatória (sem índice t), com média \mu_{y} e variância \sigma_{y}^{2}. Observação: como não aparece t em Y, ele é o mesmo valor aleatório para todos os tempos (um deslocamento aleatório comum a toda a série).
  • \;X_{t} é um processo estacionário com \mathbb{E}[X_{t}]=0 e \operatorname{Var}(X_{t})=\sigma^{2}. Denotarei a função de autocovariância de X_{t} por \gamma_{X}(h)=\operatorname{Cov}(X_{t},X_{t+h}).
  • Além disso, foi dito que Y é independente de X_{t}.
O que nos pedem:
a) Calcular a média de Z_{t} em termos das médias de Y e X_{t}.
b) Determinar a função de autocovariância (fac) de Z_{t}, em termos da variância de Y e da fac (autocovariância) de X_{t}.
c) Dizer se a série Z_{t} é estacionária e justificar a resposta.

Passo 2

Cálculo da média de Z_{t}. Vou lembrar e usar uma propriedade básica e muito útil: a esperança (média) é linear. Isso significa que, para variáveis aleatórias A e B e constante c,
\mathbb{E}[A+B]=\mathbb{E}[A]+\mathbb{E}[B],\qquad \mathbb{E}[c]=c.
Aplicando essa propriedade a \;Z_{t}=C+Y+X_{t}, obtemos
\mathbb{E}[Z_{t}]=\mathbb{E}[C]+\mathbb{E}[Y]+\mathbb{E}[X_{t}].
Sabemos que \mathbb{E}[C]=C (constante), \mathbb{E}[Y]=\mu_{y} (dado) e \mathbb{E}[X_{t}]=0 (dado). Assim,
\mathbb{E}[Z_{t}]=C+\mu_{y}+0 = C+\mu_{y}.
Esse é o valor da média de Z_{t}, independente de t.

Passo 3

Definição e cálculo da função de autocovariância de Z_{t}. Primeiro a definição: a função de autocovariância (fac) de um processo W_{t} é
\gamma_{W}(h)=\operatorname{Cov}(W_{t},W_{t+h})=\mathbb{E}\big[(W_{t}-\mathbb{E}[W_{t}])(W_{t+h}-\mathbb{E}[W_{t+h}])\big].
No caso de Z_{t}, usando linearidade da covariância em cada argumento e que a covariância com constante é zero, escrevo
\gamma_{Z}(h)=\operatorname{Cov}(Z_{t},Z_{t+h}) =\operatorname{Cov}(C+Y+X_{t},\,C+Y+X_{t+h}).
Como \operatorname{Cov}(C,\cdot)=0, isso reduz para
\gamma_{Z}(h)=\operatorname{Cov}(Y+X_{t},\,Y+X_{t+h}).
Agora uso a bilinearidade da covariança:
\gamma_{Z}(h)=\operatorname{Cov}(Y,Y)+\operatorname{Cov}(Y,X_{t+h})+\operatorname{Cov}(X_{t},Y)+\operatorname{Cov}(X_{t},X_{t+h}).
Pelo enunciado, Y é independente de X_{t}, logo \operatorname{Cov}(Y,X_{t+h})=\operatorname{Cov}(X_{t},Y)=0. Além disso, \operatorname{Cov}(Y,Y)=\operatorname{Var}(Y)=\sigma_{y}^{2} e \operatorname{Cov}(X_{t},X_{t+h})=\gamma_{X}(h). Portanto
\gamma_{Z}(h)=\sigma_{y}^{2}+\gamma_{X}(h).
Observação útil: para h=0 temos a variância
\operatorname{Var}(Z_{t})=\gamma_{Z}(0)=\sigma_{y}^{2}+\gamma_{X}(0)=\sigma_{y}^{2}+\sigma^{2},
onde usei \gamma_{X}(0)=\operatorname{Var}(X_{t})=\sigma^{2}.

Passo 4

Resposta à pergunta de estacionaridade (explicando o conceito e aplicando ao caso). Vou separar dois conceitos que aparecem com frequência: estacionaridade estrita (ou forte) e estacionaridade de segunda ordem (também chamada de fraca ou covariancial).
  • Estacionaridade de segunda ordem (fraca): requer que a média seja constante no tempo e que a função de autocovariância dependa apenas do defasamento h (e não do tempo absoluto t).
    Já calculamos que \mathbb{E}[Z_{t}]=C+\mu_{y}, que é constante em t. Também mostramos que \gamma_{Z}(h)=\sigma_{y}^{2}+\gamma_{X}(h), que depende apenas de h (porque \sigma_{y}^{2} é constante e \gamma_{X}(h) depende só de h, por hipótese de estacionaridade de X_{t}). Logo os dois requisitos da estacionaridade de segunda ordem estão satisfeitos. Conclusão: Z_{t} é estacionária no sentido de segunda ordem.
  • Estacionaridade estrita: exige que para qualquer n e qualquer conjunto de instantes t_{1},\dots,t_{n} a distribuição conjunta de (Z_{t_{1}},\dots,Z_{t_{n}}) seja invariante por deslocamento no tempo. Se X_{t} for estritamente estacionário e Y for independente de X_{t}, então (X_{t_{1}},\dots,X_{t_{n}}) e (X_{t_{1}+h},\dots,X_{t_{n}+h}) têm a mesma distribuição; como Y é o mesmo valor adicionado a todas as coordenadas e não depende de t, somar Y (e a constante C) a cada componente não altera essa invariância por deslocamento. Portanto, sob a hipótese adicional de que X_{t} seja estritamente estacionário, Z_{t} também será estritamente estacionário. Se só sabemos que X_{t} é estacionário no sentido de segunda ordem, podemos afirmar com certeza que Z_{t} é estacionária de segunda ordem (como já concluí).
Resumo intuitivo e motivador: Y atua como um deslocamento aleatório fixo no tempo (um “offset” comum a toda a série). Esse deslocamento não cria dependência temporal nova que dependa do tempo absoluto — só soma uma constante aleatória a todos os instantes — por isso não estraga a estacionaridade (pelo menos a fraca; e nem a estrita se X_{t} for estritamente estacionário).

Resposta

a) \mathbb{E}[Z_{t}]=C+\mu_{y}.
b) \gamma_{Z}(h)=\sigma_{y}^{2}+\gamma_{X}(h) (e, em particular, \operatorname{Var}(Z_{t})=\sigma_{y}^{2}+\sigma^{2}).
c) Sim: Z_{t} é estacionária no sentido de segunda ordem, pois tem média constante e \gamma_{Z}(h) depende apenas de h. Se X_{t} for estritamente estacionário, então Z_{t} também é estritamente estacionário.

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