Mostre que se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem tais que A^k=0 para algum inteiro k >= 1 e A B=B A, então (A B)^k=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas, e , de mesma ordem. Sabemos que para algum inteiro e que e comutam, ou seja, . O nosso objetivo aqui é mostrar que . Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades de matrizes, especialmente como potências de matrizes se comportam quando elas comutam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando duas matrizes e comutam, elas podem ser multiplicadas em qualquer ordem sem mudar o resultado, isto é, . Essa propriedade é super útil porque permite que a gente reorganize as multiplicações sem complicar as coisas.

Passo 3

Agora, vamos analisar (AB)^k = AB cdot AB cdot AB cdots AB (k vezes) . Podemos expandir isso como multiplicado por ele mesmo vezes:

Passo 4

Como (AB)^k = A^k B^k e comutam, podemos reorganizar as multiplicações dentro dessa expressão. Isso significa que podemos agrupar todas as juntas e todas as juntas:

Passo 5

Sabemos que (AB)^k = 0 cdot B^k = 0 . Substituindo isso na expressão que encontramos:

Resposta

Portanto, .

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