Mostre que se
e
são matrizes quadradas de mesma ordem tais que
para algum inteiro
e
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas,
e
, de mesma ordem. Sabemos que
para algum inteiro
e que
e
comutam, ou seja,
. O nosso objetivo aqui é mostrar que
. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades de matrizes, especialmente como potências de matrizes se comportam quando elas comutam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando duas matrizes
e
comutam, elas podem ser multiplicadas em qualquer ordem sem mudar o resultado, isto é,
. Essa propriedade é super útil porque permite que a gente reorganize as multiplicações sem complicar as coisas.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. Podemos expandir isso como
multiplicado por ele mesmo
vezes:
Passo 4
Como
e
comutam, podemos reorganizar as multiplicações dentro dessa expressão. Isso significa que podemos agrupar todas as
juntas e todas as
juntas:
Passo 5
Sabemos que
. Substituindo isso na expressão que encontramos:
Resposta
Portanto,
.