Mostre que se 
  e 
  são matrizes quadradas de mesma ordem tais que 
  para algum inteiro 
  e 
 , então 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas, 
  e 
 , de mesma ordem. Sabemos que 
  para algum inteiro 
  e que 
  e 
  comutam, ou seja, 
 . O nosso objetivo aqui é mostrar que 
 . Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades de matrizes, especialmente como potências de matrizes se comportam quando elas comutam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando duas matrizes 
  e 
  comutam, elas podem ser multiplicadas em qualquer ordem sem mudar o resultado, isto é, 
 . Essa propriedade é super útil porque permite que a gente reorganize as multiplicações sem complicar as coisas.
Passo 3
Agora, vamos analisar 
 . Podemos expandir isso como 
  multiplicado por ele mesmo 
  vezes:
Passo 4
Como 
  e 
  comutam, podemos reorganizar as multiplicações dentro dessa expressão. Isso significa que podemos agrupar todas as 
  juntas e todas as 
  juntas:
Passo 5
Sabemos que 
 . Substituindo isso na expressão que encontramos:
Resposta
Portanto, 
 .