Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto 
  é um subespaço do espaço vetorial 
 .
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  e 
  e 
 
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial 
  e um subconjunto 
 . Queremos verificar se 
  é um subespaço de 
 .
Para isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço:
- O vetor zero deve estar em 
.  - 
deve ser fechado sob adição de vetores.  - 
deve ser fechado sob multiplicação por escalar.  
Passo 2
Verificando o vetor zero:
O vetor zero em 
  é 
 . Vamos ver se ele está em 
 :
- 
(ok)  - 
→ (ok)  
Então, o vetor zero está em 
 .
Passo 3
Verificando a adição de vetores:
Para 
  ser fechado sob adição, se pegarmos dois vetores quaisquer em 
 , sua soma também deve estar em 
 .
Vamos considerar dois vetores 
  e 
  em 
 . Então:
A soma 
 .
Para que 
  esteja em 
 , precisamos que:
Vamos ver um exemplo:
Se 
  e 
 , então:
Aqui, 
 , então a soma não está em 
 .
Portanto, 
  não é fechado sob adição.
Passo 4
Verificando a multiplicação por escalar:
Mesmo já tendo descoberto que 
  não é fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação por escalar para completar a análise.
Pegamos um vetor 
  em 
 , onde 
 , e multiplicamos por um escalar 
 .
Então, 
 .
Para que 
  esteja em 
 , precisamos que:
Sabemos que 
 , então:
Isso é verdade se 
  for positivo ou zero. Mas se 
  for negativo:
- 
porque o lado esquerdo seria negativo e o direito positivo.  
Então, 
  não é fechado sob multiplicação por escalar quando 
  é negativo.
Resposta
O subconjunto 
  não é um subespaço do espaço vetorial 
 .