Mostre que \beta=\{(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-1)\} é uma base para o \Re^{3}. Determine as coordenadas de u=(2,1,4) em relação a base \beta.

Passo 1

O enunciado dá a família de vetores
\beta = \{v_1,v_2,v_3\} em \Re^3, onde
v_1 = (1,1,1),\quad v_2 = (1,0,1),\quad v_3 = (1,0,-1),
e pede (i) mostrar que \beta é base de \Re^3 e (ii) encontrar as coordenadas de u=(2,1,4) em relação a \beta. Para isso vamos verificar linearidade independente (via determinante) e depois resolver um sistema para as coordenadas.

Passo 2

Montamos a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Calculando o determinante por expansão:
\det(M) = 1\cdot\begin{vmatrix}0&0\\\ 1&-1\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}1&0\\\ 1&-1\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}1&0\\\ 1&1\end{vmatrix} = 0 -1\cdot(-1)+1\cdot1 = 2\neq 0.
Como \det(M)\neq0, os vetores são linearmente independentes e, por serem 3 vetores em \Re^3, formam uma base.

Passo 3

Para expressar u=(2,1,4)\) em \(\beta\), escrevemos \[c_1(1,1,1)+c_2(1,0,1)+c_3(1,0,-1)=(2,1,4),
que gera o sistema
\begin{cases} c_1 + c_2 + c_3 = 2,\\\ c_1 = 1,\\\ c_1 + c_2 - c_3 = 4. \end{cases}
Da segunda equação vem c_1=1\]. Substituindo nas outras: \[\begin{cases} c_2 + c_3 = 1,\\\ c_2 - c_3 = 3. \end{cases}\] Somando em membro a membro: \(2c_2=4\Rightarrow c_2=2.
Logo c_3 = 1 - c_2 = -1.

Resposta

As coordenadas de u na base \beta são (1,2,-1).

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