Mostre que \beta=\left\{1,1+x, 1+x^{2}\right\} é uma base para o espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 com as operações usuais. Determine as coordenadas de p(x)=2+4 x+x^{2} em relação a esta base.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \beta=\{1,\;1+x,\;1+x^2\} é base de P_2(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios reais de grau <=2, e em seguida encontrar as coordenadas de p(x)=2+4x+x^2 nessa base. Para isso vamos verificar que \beta é linearmente independente e gera P_2(\mathbb{R}); depois, escrever p como combinação linear de 1, 1+x e 1+x^2.

Passo 2

Para verificar a independência linear, considere a combinação linear nula
a\cdot 1 \;+\; b\,(1+x)\;+\; c\,(1+x^2)\;=\;0.
Expandindo o lado esquerdo, fica
(a + b + c)\;+\; b\,x\;+\; c\,x^2 \;=\;0 + 0\,x + 0\,x^2.
Igualando coeficientes dos monômios 1\), \(x\) e \(x^2\), obtemos o sistema \[\begin{cases} a + b + c = 0,\\\ b = 0,\\\ c = 0. \end{cases}
Da segunda e da terceira equações segue b=0\] e \(c=0. Substituindo na primeira, vem a=0. Logo só há solução trivial e \beta é linearmente independente.

Passo 3

Para mostrar que \beta gera P_2(\mathbb{R}), seja um polinômio arbitrário
q(x) = d\,x^2 + e\,x + f.
Procuramos a,b,c tais que
a\cdot 1 + b\,(1+x) + c\,(1+x^2) = d\,x^2 + e\,x + f.
Expandindo o lado esquerdo,
(a + b + c) + b\,x + c\,x^2 = f + e\,x + d\,x^2.
Igualando coeficientes, obtemos
c = d,\quad b = e,\quad a + b + c = f.
Daí a = f - e - d. Como para quaisquer d,e,f existe solução (a,b,c), a família \beta gera todo P_2(\mathbb{R}).

Passo 4

Como \beta é linearmente independente e gera P_2(\mathbb{R}), concluímos que \beta é uma base de P_2(\mathbb{R}).

Passo 5

Para escrever p(x)=2+4x+x^2 na base \beta, repetimos o cálculo do passo anterior com d=1, e=4, f=2. Assim
c = d = 1,\quad b = e = 4,\quad a = f - e - d = 2 - 4 - 1 = -3.
Portanto
p(x) = -3\cdot 1 \;+\; 4\,(1+x)\;+\; 1\,(1+x^2).

Resposta

As coordenadas de p(x)=2+4x+x^2 na base \beta são \bigl(-3,\;4,\;1\bigr).

Exercícios relacionados