Mostre que
é uma base para o espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 com as operações usuais. Determine as coordenadas de
em relação a esta base.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é base de
, o espaço dos polinômios reais de grau
, e em seguida encontrar as coordenadas de
nessa base. Para isso vamos verificar que
é linearmente independente e gera
; depois, escrever
como combinação linear de
,
e
.
Passo 2
Para verificar a independência linear, considere a combinação linear nula
Expandindo o lado esquerdo, fica
Igualando coeficientes dos monômios
Da segunda e da terceira equações segue
. Substituindo na primeira, vem
. Logo só há solução trivial e
é linearmente independente.
Passo 3
Para mostrar que
gera
, seja um polinômio arbitrário
Procuramos
tais que
Expandindo o lado esquerdo,
Igualando coeficientes, obtemos
Daí
. Como para quaisquer
existe solução
, a família
gera todo
.
Passo 4
Como
é linearmente independente e gera
, concluímos que
é uma base de
.
Passo 5
Para escrever
na base
, repetimos o cálculo do passo anterior com
,
,
. Assim
Portanto
Resposta
As coordenadas de
na base
são
.