Mostre que se \beta(s)=\alpha(h(s)), onde h^{\prime}(s)>0, então as curvas possuem a mesma orientação.

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • Duas parametrizações relacionadas por \beta(s)=\alpha(h(s)).
  • A função h satisfaz h'(s)>0 (para os s considerados).
    O pedido é: mostrar que as curvas têm a mesma orientação.

Passo 2

Primeiro, o que significa “mesma orientação” para curvas parametrizadas? Vou explicar de um jeito concreto e tranquilo.
  • Pense na curva \alpha sendo percorrida quando t aumenta; a direção do percurso em cada ponto é dada pelo vetor tangente \alpha'(t).
  • Do mesmo modo, \beta é percorrida quando s aumenta; a direção do percurso em cada ponto é dada por \beta'(s).
  • Então dizemos que \alpha e \beta têm a mesma orientação se, em cada ponto correspondendo (ou seja, quando t=h(s)), os vetores tangentes \alpha'(h(s)) e \beta'(s) têm a mesma direção. Geometricamente, isso ocorre quando \beta'(s) é um múltiplo escalar positivo de \alpha'(h(s)).
Essa é a condição prática que vamos usar: se existir uma função escalar \lambda(s)>0 tal que
\beta'(s)=\lambda(s)\,\alpha'(h(s)),
então as curvas têm a mesma orientação.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para diferenciar \beta(s)=\alpha(h(s)). A regra da cadeia diz, em palavras simples: para a composição de funções, a derivada é a derivada exterior avaliada na função interior vezes a derivada da função interior.
Aplicando isso:
\beta'(s)=\frac{d}{ds}\big(\alpha(h(s))\big)=\alpha'\big(h(s)\big)\,h'(s).
Aqui \alpha'\big(h(s)\big) é um vetor (o vetor tangente de \alpha no parâmetro t=h(s)) e h'(s) é um número (um escalar).

Passo 4

Comparando com a condição do Passo 2, vemos que \beta'(s) é exatamente o vetor \alpha'(h(s)) multiplicado pelo escalar h'(s):
\beta'(s)=h'(s)\,\alpha'\big(h(s)\big).
Pelo dado do enunciado temos h'(s)>0. Portanto, em cada ponto correspondente, \beta'(s) é um múltiplo escalar positivo de \alpha'(h(s)). Isso garante que os vetores tangentes apontam na mesma direção, ou seja, os percursos quando s e t aumentam seguem o mesmo sentido na curva.
Um pequeno comentário técnico: pressupõe-se que \alpha seja regular (isto é, \alpha'(t)\neq 0 nos pontos considerados), assim \beta'(s) também será não-nulo porque é um múltiplo positivo de \alpha'(h(s)). Logo \beta é também regular e a comparação das direções faz sentido.

Passo 5

Observação útil para a prova: se em vez de h'(s)>0 tivéssemos h'(s)<0, então \beta'(s)=h'(s)\alpha'(h(s)) seria um múltiplo escalar negativo de \alpha'(h(s)), e os vetores tangentes apontariam em direções opostas — isto é, as orientações seriam contrárias. Portanto o sinal de h'(s) determina se a orientação é preservada ( h'>0) ou invertida ( h'<0).

Resposta

As curvas possuem a mesma orientação, pois \beta'(s)=h'(s)\,\alpha'(h(s)) com h'(s)>0, logo os vetores tangentes em pontos correspondentes são múltiplos escalares positivos e apontam na mesma direção.

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