Mostre que se
, onde
, então as curvas possuem a mesma orientação.
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- Duas parametrizações relacionadas por
. - A função
satisfaz (para os considerados).
O pedido é: mostrar que as curvas têm a mesma orientação.
Passo 2
Primeiro, o que significa “mesma orientação” para curvas parametrizadas? Vou explicar de um jeito concreto e tranquilo.
- Pense na curva
sendo percorrida quando aumenta; a direção do percurso em cada ponto é dada pelo vetor tangente . - Do mesmo modo,
é percorrida quando aumenta; a direção do percurso em cada ponto é dada por . - Então dizemos que
e têm a mesma orientação se, em cada ponto correspondendo (ou seja, quando ), os vetores tangentes e têm a mesma direção. Geometricamente, isso ocorre quando é um múltiplo escalar positivo de .
Essa é a condição prática que vamos usar: se existir uma função escalar
tal que
então as curvas têm a mesma orientação.
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia para diferenciar
. A regra da cadeia diz, em palavras simples: para a composição de funções, a derivada é a derivada exterior avaliada na função interior vezes a derivada da função interior.
Aplicando isso:
Aqui
é um vetor (o vetor tangente de
no parâmetro
) e
é um número (um escalar).
Passo 4
Comparando com a condição do Passo 2, vemos que
é exatamente o vetor
multiplicado pelo escalar
:
Pelo dado do enunciado temos
. Portanto, em cada ponto correspondente,
é um múltiplo escalar positivo de
. Isso garante que os vetores tangentes apontam na mesma direção, ou seja, os percursos quando
e
aumentam seguem o mesmo sentido na curva.
Um pequeno comentário técnico: pressupõe-se que
seja regular (isto é,
nos pontos considerados), assim
também será não-nulo porque é um múltiplo positivo de
. Logo
é também regular e a comparação das direções faz sentido.
Passo 5
Observação útil para a prova: se em vez de
tivéssemos
, então
seria um múltiplo escalar negativo de
, e os vetores tangentes apontariam em direções opostas — isto é, as orientações seriam contrárias. Portanto o sinal de
determina se a orientação é preservada (
) ou invertida (
).
Resposta
As curvas possuem a mesma orientação, pois
com
, logo os vetores tangentes em pontos correspondentes são múltiplos escalares positivos e apontam na mesma direção.