Defina o que é uma curva regular. Dê um exemplo de uma curva que não seja regular e explique o que ocorre geometricamente nesse ponto singular.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Definir o que é uma curva regular.
- Apresentar um exemplo de curva que NÃO seja regular e explicar geometricamente o que acontece no ponto singular dessa curva.
Informações implícitas que vou usar (não foi pedido, mas são relevantes):
- Trabalharei com curvas parametrizadas por uma função
com parâmetro . - Vou identificar a condição de regularidade usando a derivada
. - Vou produzir um exemplo explícito e explicar o aspecto geométrico no ponto onde a regularidade falha.
Passo 2
Definição formal (passo-a-passo didático). Considere uma curva parametrizada por
, isto é, para cada
temos um ponto
no espaço. Dizemos que
é diferenciável em
se cada componente de
tem derivada em
. A derivada vetorial é
que é um vetor em
.
Agora a definição de curva regular:
E dizemos que a curva é regular no intervalo se
para todo
do intervalo.
Passo 3
Interpretação física/geometricamente intuitiva da definição. A derivada
é o vetor velocidade; suas propriedades importantes:
- Se
, existe um vetor tangente não nulo naquele ponto, logo a curva tem uma direção bem definida (uma reta tangente) em . - Se
, o parâmetro “para” ali: a velocidade é zero. Geometricamente isso pode corresponder a situações distintas: ponto de parada suave (máquina pára e continua), cusp (ponta aguda), ou ponto de inflexão estacionário. Em qualquer caso a condição de regularidade falha e a tangente pode deixar de existir ou ser menos informativa.
Passo 4
O que garante a regularidade na prática: se
então a reta tangente em
pode ser escrita como
e a direção dessa reta é exatamente
. Além disso, pode-se definir o versor tangente unitário
que só faz sentido quando
. Portanto regularidade = existência de tangente bem definida e velocidade não nula.
Passo 5
Vou dar um exemplo clássico de curva NÃO regular e explicar passo a passo o que ocorre. Considere a curva planar parametrizada por
Esta é a chamada “semicúbica” (ou parábola semicúbica), que tem um ponto especial na origem.
Passo 6
Calcule a derivada e verifique a regularidade. A derivada é
No ponto
temos
logo
. Portanto a curva NÃO é regular em
: é um ponto singular (ponto estacionário).
Passo 7
Para ver a forma geométrica da curva, elimine o parâmetro
. Como
e
, temos
Logo a equação implícita da curva é
que tem uma cusp (uma ponta) na origem
.
Passo 8
Determine a reta tangente como limite do declive
quando possível. Para
,
Tomando o limite quando
obtemos
portanto a reta tangente limite é a reta horizontal
(o eixo
). Observe que mesmo com
, a direção tangente como limite pode existir; porém a regularidade falha porque a velocidade é zero.
Passo 9
Explicação geométrica intuitiva do que ocorre na origem (o ponto singular). Para a curva
:
- A velocidade se anula em
: a partícula parametrizada “para” no ponto. - A curva tem uma ponta (cusp) na origem: ambas as ramificações
e chegam ao mesmo ponto, com a mesma reta tangente limite , mas com comportamentos que fazem o encontro ser pontiagudo (não é um encontro suave como numa curva regular). - Visualmente, a curva entra na origem vindo de um lado, reduz a velocidade até zero e volta a sair (ou aparece do outro lado), formando uma ponta aguda — é diferente de um cruzamento simples (auto-interseção) e também diferente de uma esquina onde as tangentes laterais são distintas.
Passo 10
Contrastando com outros tipos de singularidade (curta explicação extra para fixar a ideia):
- Cusp:
e as ramificações têm a mesma tangente limite — resulta numa ponta (ex.: ). - Corner (canto): as derivadas laterais existem mas apontam para direções diferentes — a tangente não está bem definida (ex.:
tem um canto em ). - Auto-interseção: a curva pode cruzar-se em um ponto sem que
seja zero; isso não é falta de regularidade necessariamente (pode ser regular mas não injetiva).
Passo 11
Dicas práticas para a prova (rápidas e amigas):
- Para checar regularidade em
, calcule . Se der , declare não regular e investigue o tipo de singularidade (elimine o parâmetro, veja limites de ou as direções laterais). - Lembre que mesmo que a tangente limite exista, a curva não é regular se
— regularidade exige vetor velocidade não nulo. - Se precisar explicar geometricamente, diga se há parada (velocidade zero), ponta (cusp), canto, ou auto-interseção.
Resposta
Definição: Uma curva parametrizada
é regular em
se
; é regular no intervalo se
para todo
do intervalo.
Exemplo e explicação: Tome . Aqui
e
, logo não é regular em
. Eliminando o parâmetro obtém-se
, que tem uma cusp na origem: a velocidade se anula no ponto, a curva forma uma ponta (o encontro das ramificações é agudo) e a tangente limite existe (
) apesar de a curva não ser regular.
Exemplo e explicação: Tome