Defina o que é uma curva regular. Dê um exemplo de uma curva que não seja regular e explique o que ocorre geometricamente nesse ponto singular.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Definir o que é uma curva regular.
  • Apresentar um exemplo de curva que NÃO seja regular e explicar geometricamente o que acontece no ponto singular dessa curva.
Informações implícitas que vou usar (não foi pedido, mas são relevantes):
  • Trabalharei com curvas parametrizadas por uma função \mathbf{r}(t) com parâmetro t.
  • Vou identificar a condição de regularidade usando a derivada \mathbf{r}'(t).
  • Vou produzir um exemplo explícito e explicar o aspecto geométrico no ponto onde a regularidade falha.

Passo 2

Definição formal (passo-a-passo didático). Considere uma curva parametrizada por \mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^n, isto é, para cada t\in[a,b] temos um ponto \mathbf{r}(t) no espaço. Dizemos que \mathbf{r} é diferenciável em t se cada componente de \mathbf{r} tem derivada em t. A derivada vetorial é
\mathbf{r}'(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t),
que é um vetor em \mathbb{R}^n.
Agora a definição de curva regular:
\text{A curva } \mathbf{r}(t) \text{ é dita regular em } t_0 \text{ se } \mathbf{r}'(t_0)\neq\mathbf{0}.é
E dizemos que a curva é regular no intervalo se \mathbf{r}'(t)\neq\mathbf{0} para todo t do intervalo.

Passo 3

Interpretação física/geometricamente intuitiva da definição. A derivada \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade; suas propriedades importantes:
  • Se \mathbf{r}'(t_0)\neq\mathbf{0}, existe um vetor tangente não nulo naquele ponto, logo a curva tem uma direção bem definida (uma reta tangente) em t_0.
  • Se \mathbf{r}'(t_0)=\mathbf{0}, o parâmetro “para” ali: a velocidade é zero. Geometricamente isso pode corresponder a situações distintas: ponto de parada suave (máquina pára e continua), cusp (ponta aguda), ou ponto de inflexão estacionário. Em qualquer caso a condição de regularidade falha e a tangente pode deixar de existir ou ser menos informativa.

Passo 4

O que garante a regularidade na prática: se \mathbf{r}'(t_0)\neq\mathbf{0} então a reta tangente em t_0 pode ser escrita como
\mathbf{r}(t_0)+s\,\mathbf{r}'(t_0),\qquad s\in\mathbb{R},
e a direção dessa reta é exatamente \mathbf{r}'(t_0). Além disso, pode-se definir o versor tangente unitário
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|},
que só faz sentido quando \mathbf{r}'(t)\neq\mathbf{0}. Portanto regularidade = existência de tangente bem definida e velocidade não nula.

Passo 5

Vou dar um exemplo clássico de curva NÃO regular e explicar passo a passo o que ocorre. Considere a curva planar parametrizada por
\mathbf{r}(t)=\bigl(t^2,\;t^3\bigr),\qquad t\in\mathbb{R}.
Esta é a chamada “semicúbica” (ou parábola semicúbica), que tem um ponto especial na origem.

Passo 6

Calcule a derivada e verifique a regularidade. A derivada é
\mathbf{r}'(t)=\bigl(2t,\;3t^2\bigr).
No ponto t=0 temos
\mathbf{r}'(0)=\bigl(0,\;0\bigr),
logo \mathbf{r}'(0)=\mathbf{0}. Portanto a curva NÃO é regular em t=0: é um ponto singular (ponto estacionário).

Passo 7

Para ver a forma geométrica da curva, elimine o parâmetro t. Como x=t^2 e y=t^3, temos
y^2 = (t^3)^2 = t^6 = (t^2)^3 = x^3.
Logo a equação implícita da curva é
y^2=x^3,
que tem uma cusp (uma ponta) na origem (0,0).

Passo 8

Determine a reta tangente como limite do declive \dfrac{dy}{dx} quando possível. Para t\neq0,
\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3}{2}\,t.
Tomando o limite quando t\to0 obtemos
\lim_{t\to0}\frac{dy}{dx}=0,
portanto a reta tangente limite é a reta horizontal y=0 (o eixo x). Observe que mesmo com \mathbf{r}'(0)=\mathbf{0}, a direção tangente como limite pode existir; porém a regularidade falha porque a velocidade é zero.

Passo 9

Explicação geométrica intuitiva do que ocorre na origem (o ponto singular). Para a curva \mathbf{r}(t)=(t^2,t^3):
  • A velocidade se anula em t=0: a partícula parametrizada “para” no ponto.
  • A curva tem uma ponta (cusp) na origem: ambas as ramificações t>0 e t<0 chegam ao mesmo ponto, com a mesma reta tangente limite y=0, mas com comportamentos que fazem o encontro ser pontiagudo (não é um encontro suave como numa curva regular).
  • Visualmente, a curva entra na origem vindo de um lado, reduz a velocidade até zero e volta a sair (ou aparece do outro lado), formando uma ponta aguda — é diferente de um cruzamento simples (auto-interseção) e também diferente de uma esquina onde as tangentes laterais são distintas.

Passo 10

Contrastando com outros tipos de singularidade (curta explicação extra para fixar a ideia):
  • Cusp: \mathbf{r}'(t_0)=\mathbf{0} e as ramificações têm a mesma tangente limite — resulta numa ponta (ex.: (t^2,t^3)).
  • Corner (canto): as derivadas laterais existem mas apontam para direções diferentes — a tangente não está bem definida (ex.: \mathbf{r}(t)=(|t|,t) tem um canto em t=0).
  • Auto-interseção: a curva pode cruzar-se em um ponto sem que \mathbf{r}' seja zero; isso não é falta de regularidade necessariamente (pode ser regular mas não injetiva).

Passo 11

Dicas práticas para a prova (rápidas e amigas):
  • Para checar regularidade em t_0, calcule \mathbf{r}'(t_0). Se der \mathbf{0}, declare não regular e investigue o tipo de singularidade (elimine o parâmetro, veja limites de \dfrac{dy}{dx} ou as direções laterais).
  • Lembre que mesmo que a tangente limite exista, a curva não é regular se \mathbf{r}'(t_0)=\mathbf{0} — regularidade exige vetor velocidade não nulo.
  • Se precisar explicar geometricamente, diga se há parada (velocidade zero), ponta (cusp), canto, ou auto-interseção.

Resposta

Definição: Uma curva parametrizada \mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^n é regular em t_0 se \mathbf{r}'(t_0)\neq\mathbf{0}; é regular no intervalo se \mathbf{r}'(t)\neq\mathbf{0} para todo t do intervalo.
Exemplo e explicação: Tome \mathbf{r}(t)=\bigl(t^2,t^3\bigr). Aqui \mathbf{r}'(t)=\bigl(2t,3t^2\bigr) e \mathbf{r}'(0)=\mathbf{0}, logo não é regular em t=0. Eliminando o parâmetro obtém-se y^2=x^3, que tem uma cusp na origem: a velocidade se anula no ponto, a curva forma uma ponta (o encontro das ramificações é agudo) e a tangente limite existe ( y=0) apesar de a curva não ser regular.

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