Mostre que:
(a c, b)=1 se, e somente se, (a, b)=(c, b)=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar uma equivalência entre duas afirmações envolvendo o máximo divisor comum. Mais precisamente, dado a,b,c (inteiros), devemos provar que
(ac,b)=1 \iff (a,b)=1 \text{ e } (c,b)=1.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A notação (x,y) significa o máximo divisor comum entre os inteiros x e y.
  • Queremos provar uma bicondicional: uma direção "se (ac,b)=1 então (a,b)=(c,b)=1" e a direção inversa "se (a,b)=(c,b)=1 então (ac,b)=1".
    Nada mais é dado explicitamente; todas as hipóteses necessárias são as que aparecem acima.

Passo 2

Prova da direção " (ac,b)=1 \Rightarrow (a,b)=1 e (c,b)=1".
Seja d=(a,b). Por definição de máximo divisor comum, d divide a e d divide b. Como d divide a, então d divide ac (pois multiplicar por c preserva a divisibilidade). Assim d divide simultaneamente ac e b, ou seja, d divide (ac,b).
Agora usamos a hipótese (ac,b)=1. Como d divide (ac,b) e (ac,b)=1, segue que d divide 1. O único divisor positivo de 1 é 1 próprio, logo d=1. Portanto (a,b)=1.
O mesmo argumento vale trocando a por c: se e=(c,b) então e divide c e b, logo e divide ac e b, portanto e divide (ac,b)=1, daí e=1. Assim (c,b)=1.
Concluímos a primeira direção: (ac,b)=1 implica (a,b)=1 e (c,b)=1.

Passo 3

Prova da direção " (a,b)=1 e (c,b)=1 \Rightarrow (ac,b)=1".
Queremos mostrar que o único divisor comum positivo de ac e b é 1. Seja d=(ac,b). Se d=1 já terminamos; suponhamos, para chegar a uma contradição, que d>1. Então existe um primo p tal que p divide d. Assim
p \mid d \quad\Rightarrow\quad p \mid b \quad\text{e}\quad p \mid ac.
Usamos agora o lema de Euclides: se p é primo e p\mid xy então p\mid x ou p\mid y. (Breve justificativa do lema: se p\mid xy e p\nmid x, então (x,p)=1 e existem inteiros u,v com xu+pv=1; multiplicando por y obtém-se xyu + pvy = y e a primeira parcela é múltiplo de p, logo p\mid y.)
Aplicando o lema ao produto ac, a partir de p\mid ac segue que p\mid a ou p\mid c.
  • Se p\mid a, então p divide tanto a quanto b, o que significa que p divide (a,b). Mas por hipótese (a,b)=1, portanto isso é impossível.
  • Se p\mid c, então p divide tanto c quanto b, então p divide (c,b). Mas por hipótese (c,b)=1, portanto isso também é impossível.
Portanto não existe tal primo p. Isso contradiz a suposição d>1. Logo d não pode ser maior que 1, isto é, d=1. Assim (ac,b)=1.

Passo 4

Comentário final e exemplo ilustrativo (para fixar a ideia).
Exemplo: tome a=2, b=15, c=7. Então (a,b)=(2,15)=1 e (c,b)=(7,15)=1. Pelo que provamos, (ac,b)=(14,15)=1 — conferindo na prática. Se, em vez disso, tivéssemos c=3, então (c,b)=(3,15)=3\neq1 e de fato (ac,b)=(6,15)=3\neq1.
Você conseguiu! A prova principal é curta: uma direção usa que qualquer divisor comum de a e b divide (ac,b); a outra usa o lema de Euclides (primo que divide produto divide um dos fatores).

Resposta

(ac,b)=1 \iff (a,b)=1 \text{ e } (c,b)=1

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