Mostre que:
(a, b)=1 se, e somente se, \left(a^{n}, b^{m}\right)=1, para todos m, n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre duas afirmações: que (a,b)=1 e que \left(a^{n},b^{m}\right)=1 para todos m,n\in\mathbb{N}.
Informações dadas:
  • a e b são inteiros (assume-se inteiros não nulos).
  • m e n são números naturais arbitrários.
    O que devemos provar: a afirmação “ (a,b)=1” é verdadeira se, e somente se, para quaisquer m,n\in\mathbb{N} tem-se \left(a^{n},b^{m}\right)=1.

Passo 2

Lembrando alguns conceitos úteis (explicados de forma simples):
  • (x,y) denota o máximo divisor comum (mdc) de x e y. Dizer (x,y)=1 significa que x e y são coprimos, isto é, não têm nenhum divisor primo em comum.
  • Uma propriedade básica de números primos: se p é primo e p divide z^{k} (com k\ge1), então p divide z. Isto acontece porque z^{k}=z\cdot z\cdots z e um primo que divide um produto divide pelo menos um dos fatores; aqui todos os fatores são z, logo p\mid z.
    Vou usar essas ideias para mostrar as duas implicações necessárias da equivalência.

Passo 3

Provar: se (a,b)=1 então \left(a^{n},b^{m}\right)=1 para todos m,n.
Prova passo a passo:
  1. Suponha (a,b)=1. Queremos ver que nenhum primo divide simultaneamente a^{n} e b^{m}.
  2. Tome um primo arbitrário p. Suponha, para obter contradição, que p divide tanto a^{n} quanto b^{m}.
  3. Pela propriedade citada no Passo 2, de p\mid a^{n} segue que p\mid a. De p\mid b^{m} segue que p\mid b.
  4. Assim p seria um divisor primo comum de a e b, o que contradiz (a,b)=1.
  5. Como nenhum primo pode dividir ambos a^{n} e b^{m}, a maior parte comum de a^{n} e b^{m} é 1. Portanto \left(a^{n},b^{m}\right)=1.
    Isto vale para quaisquer m,n\in\mathbb{N}. Logo a implicação está provada.

Passo 4

Uma prova alternativa (com identidade de Bézout) da mesma implicação, para intuição extra:
  1. Se (a,b)=1, pela identidade de Bézout existem inteiros x,y tais que ax+by=1.
  2. Suponha d é um divisor comum de a^{n} e b^{m}. Então qualquer primo divisor de d divide a (porque divide a^{n}) e divide b (porque divide b^{m}); portanto não existem primos tais se (a,b)=1, logo d=1.
  3. Assim o único divisor comum possível é 1, então \left(a^{n},b^{m}\right)=1.
    Esta versão usa a mesma ideia essencial (nenhum primo comum) mas dá uma intuição via divisores.

Passo 5

Provar a implicação inversa: se \left(a^{n},b^{m}\right)=1 para todos m,n então (a,b)=1.
Isto é praticamente imediato:
  1. A hipótese diz que a propriedade vale para todos m,n\in\mathbb{N}.
  2. Em particular, tomando m=1 e n=1 obtemos \left(a^{1},b^{1}\right)=1, ou seja (a,b)=1.
    Portanto a implicação inversa é trivial.

Passo 6

Mostrei ambas as direções: (i) se (a,b)=1 então para quaisquer m,n vale \left(a^{n},b^{m}\right)=1; (ii) se \left(a^{n},b^{m}\right)=1 para todos m,n então, em particular para m=n=1, (a,b)=1. Assim as duas afirmações são equivalentes.

Resposta

(a,b)=1 se, e somente se, \left(a^{n},b^{m}\right)=1 para todos m,n\in\mathbb{N}.

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