Mostre que cada uma das equações abaixo é homogênea, em seguida resolva-as:
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Passo 1
Beleza, vamos olhar esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que precisa mostrar que ela é homogênea e depois resolver. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais homogêneas, que são tipo aquelas equações onde as variáveis podem ser combinadas numa única variável através de uma substituição. Para resolver, vamos precisar entender como identificar a homogeneidade e aplicar a substituição certa.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. A equação dada é:
Uma equação diferencial é homogênea se podemos escrever a função do lado direito como uma função de 
 . Vamos ver se isso é possível aqui.
Passo 3
Vamos expressar a parte direita da equação em termos de 
 :
Agora, substituindo 
 , onde 
 , podemos reescrever a equação.
Passo 4
Vamos substituir 
  na equação. Primeiro, derivamos 
  em relação a 
 :
Agora, substituímos 
  e 
  na equação original:
Passo 5
Agora, temos uma equação em termos de 
  e 
 :
Vamos rearranjar para isolar 
 :
Passo 6
Separando as variáveis 
  e 
 :
Agora, integrando ambos os lados:
Passo 7
Calculando as integrais:
A integral do lado esquerdo:
A integral do lado direito:
Podemos combinar as constantes 
  e 
  em uma única constante 
 :
Passo 8
Vamos resolver para 
 :
Primeiro, exponenciamos ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde 
  é uma constante.
Agora, substituímos 
 :
Multiplicando tudo por 
 :
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde 
  é uma constante arbitrária.