Para cada equação abaixo, determine se ela é exata. Em caso afirmativo, encontre a solução.
(t ln y + t y) dt + (y ln t + t y) dy = 0, t > 0, y > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma determinada equação diferencial é exata. Se for, temos que encontrar a solução dela. O conteúdo envolve Equações Diferenciais Exatas, e para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação dada é:
Aqui, podemos escrever a equação no formato padrão de uma equação diferencial exata:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a t, ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Calculando :
Derivando em relação a y:
Calculando :
Derivando em relação a t:

Passo 5

Agora, vamos comparar as duas derivadas:
Observamos que essas duas expressões são diferentes, a menos que . Como não temos essa condição, concluímos que:
Portanto, a equação diferencial dada não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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