Para cada equação abaixo, determine se ela é exata. Em caso afirmativo, encontre a solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma determinada equação diferencial é exata. Se for, temos que encontrar a solução dela. O conteúdo envolve Equações Diferenciais Exatas, e para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação dada é:
Aqui, podemos escrever a equação no formato padrão de uma equação diferencial exata:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos comparar as duas derivadas:
Observamos que essas duas expressões são diferentes, a menos que
. Como não temos essa condição, concluímos que:
Portanto, a equação diferencial dada não é exata.
Resposta
A equação diferencial não é exata.