- Mostre que o comprimento
do arco dado pelo gráfico da função
é dado por:
Sugestão: Para calcular a integral, use a substituição trigonométrica
e em seguida use integração por partes.
(valor:1,0)
(valor:1,0)
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco do gráfico de
no intervalo
. O conteúdo é a fórmula
com
, logo
. Assim
Passo 2
Dentro da raiz note que
então
Agora fazemos a substituição trigonométrica sugerida:
Os limites viram
e
. Substituindo,
Logo
Passo 3
Aplicamos integração por partes em
.
Escolhendo
Escolhendo
temos
Logo
Mas
. Então
Passo 4
Voltando a
:
Logo uma primitiva é
Portanto
Desenvolvendo
e usando
obtém-se