1. Mostre que o comprimento l do arco dado pelo gráfico da função y=\ln x, \operatorname{com} 1 \leq x \leq e é dado por:
l=1+\sqrt{1+e^{2}}-\sqrt{2}+\ln \left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{1+e^{2}}+1}\right)
Sugestão: Para calcular a integral, use a substituição trigonométrica x=\operatorname{tg} \theta e em seguida use integração por partes.
(valor:1,0)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco do gráfico de y=\ln x no intervalo 1\le x\le e. O conteúdo é a fórmula
l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx
com f(x)=\ln x, logo f'(x)=1/x. Assim
l=\int_{1}^{e}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\;dx.

Passo 2

Dentro da raiz note que
\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} =\sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}}} =\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}
então
l=\int_{1}^{e}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\;dx.
Agora fazemos a substituição trigonométrica sugerida:
x=\tan\theta,\quad dx=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Os limites viram \theta_{1}=\arctan(1)=\pi/4 e \theta_{2}=\arctan(e). Substituindo,
\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\,dx =\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan\theta}\,\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta =\frac{\operatorname{sec}^{3}\theta}{\tan\theta}\,d\theta =\operatorname{sec}^{2}\theta\,\csc\theta\,d\theta =\csc\theta\,d(\tan\theta).
Logo
l=\int_{\pi/4}^{\arctan(e)}\csc\theta\,d(\tan\theta).

Passo 3

Aplicamos integração por partes em \displaystyle \int\csc\theta\,d(\tan\theta).
Escolhendo
u=\csc\theta,\quad dv=d(\tan\theta),
temos
du=-\csc\theta\cot\theta\,d\theta, \quad v=\tan\theta.
Logo
\int\csc\theta\,d(\tan\theta) =\tan\theta\,\csc\theta -\int \tan\theta\,d(\csc\theta) =\tan\theta\,\csc\theta +\int\tan\theta\,\csc\theta\cot\theta\,d\theta.
Mas \tan\theta\,\csc\theta\cot\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot\frac{1}{\sin\theta}\cdot\frac{\cos\theta}{\sin\theta} =\csc\theta. Então
\int\csc\theta\,d(\tan\theta) =\tan\theta\,\csc\theta +\int\csc\theta\,d\theta =\tan\theta\,\csc\theta -\ln\bigl|\csc\theta+\cot\theta\bigr| + C.

Passo 4

Voltando a x:
\tan\theta=x,\quad \csc\theta=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x},\quad \cot\theta=\frac{1}{x}.
Logo uma primitiva é
F(x) =\sqrt{x^{2}+1} -\ln\!\Bigl(\frac{\sqrt{x^{2}+1}+1}{x}\Bigr).
Portanto
l=F(e)-F(1) =\Bigl[\sqrt{e^{2}+1}-\ln\!\frac{\sqrt{e^{2}+1}+1}{e}\Bigr] -\Bigl[\sqrt{2}-\ln(\sqrt{2}+1)\Bigr].
Desenvolvendo \ln e usando \ln e=1 obtém-se
l =1+\sqrt{1+e^{2}}-\sqrt{2} +\ln\!\Bigl(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{1+e^{2}}+1}\Bigr).

Resposta

l=1+\sqrt{1+e^{2}}-\sqrt{2} +\ln\!\Bigl(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{1+e^{2}}+1}\Bigr).

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