Mostre que o comprimento de arco da hélice circular x=a \cos t,
y=a sen t, z=c t para
0 \leq t \leq t_{0} é t_{0} \sqrt{a^{2}+c^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o comprimento de arco da hélice dada por
x=a\cos t,\quad y=a\sin t,\quad z=c\,t
no intervalo 0\le t\le t_{0} é t_{0}\sqrt{a^{2}+c^{2}}.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de curva parametrizada em \mathbb{R}^3:
L=\int_{t_1}^{t_2}\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt,
onde \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)).

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada vetor \mathbf{r}(t)=(a\cos t,\;a\sin t,\;c\,t).
Derivando componente a componente:
x'(t)=-a\sin t,\quad y'(t)=a\cos t,\quad z'(t)=c.
O módulo de \mathbf{r}'(t) é
\|\mathbf{r}'(t)\| =\sqrt{(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+c^{2}} =\sqrt{a^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)+c^{2}} =\sqrt{a^{2}+c^{2}}.

Passo 3

Substituindo no integral de comprimento, que vai de t=0 até t=t_{0}:
L =\int_{0}^{t_{0}}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt =\int_{0}^{t_{0}}\sqrt{a^{2}+c^{2}}\;dt =\sqrt{a^{2}+c^{2}}\int_{0}^{t_{0}}dt =t_{0}\,\sqrt{a^{2}+c^{2}}.

Resposta

O comprimento de arco da hélice é
L = t_{0}\,\sqrt{a^{2}+c^{2}}.

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