a) Determine a pca da reta x=-5+3 t, y=2 t, z=5+t que tem a mesma orientação que a reta dada e o ponto de referência (-5,0,5).
b) Use as equações paramétricas obti-
das na parte (a) para determinar o ponto sobre a reta que está a 10 unidades do ponto de referência no sentido do parâmetro crescente.

Passo 1

O enunciado dá a reta em forma paramétrica
x=-5+3t,\quad y=2t,\quad z=5+t
e pede em (a) a “PCA” (isto é, a equação vetorial ou paramétrica canônica) da mesma reta, usando como ponto de referência (-5,0,5) e mantendo a orientação original. Em (b), quer o ponto sobre essa reta que fica a 10 unidades de (-5,0,5) no sentido de t crescente. Vamos usar conceitos de vetor diretor, forma vetorial de reta e a relação entre parâmetro e comprimento projetado.

Passo 2

Da forma dada reconhecemos o vetor diretor
\vec v=(3,2,1)
e vemos que, ao tomar t=0, o ponto na reta é
(-5+3\cdot0,\;2\cdot0,\;5+1\cdot0)=(-5,0,5),
que coincide com o ponto de referência exigido.

Passo 3

Assim, a forma vetorial (PCA) da reta é
\vec r(t)=(-5,0,5)+t\,(3,2,1).
Em coordenadas paramétricas canônicas:
x=-5+3t,\quad y=0+2t,\quad z=5+1t.

Passo 4

Para achar em (b) o ponto a 10 unidades de (-5,0,5) no sentido de t crescente, observamos que
\|\vec r(t)-\vec r(0)\|=\|t\,\vec v\|=|t|\;\|\vec v\|.
Queremos \|\vec r(t)-\vec r(0)\|=10 com t>0. Como
\|\vec v\|=\sqrt{3^2+2^2+1^2}=\sqrt{14},
temos
|t|\sqrt{14}=10\quad\Rightarrow\quad t=\frac{10}{\sqrt{14}}\quad(\text{positivo}).

Passo 5

Substituindo
t=\frac{10}{\sqrt{14}}
nas equações paramétricas, obtemos o ponto:
x=-5+3\cdot\frac{10}{\sqrt{14}}=-5+\frac{30}{\sqrt{14}},
y=0+2\cdot\frac{10}{\sqrt{14}}=\frac{20}{\sqrt{14}},
z=5+1\cdot\frac{10}{\sqrt{14}}=5+\frac{10}{\sqrt{14}}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec r(t)=(-5,0,5)+t\,(3,2,1), ou
x=-5+3t,\quad y=2t,\quad z=5+t.
(b) \displaystyle \bigl(-5+\tfrac{30}{\sqrt{14}},\;\tfrac{20}{\sqrt{14}},\;5+\tfrac{10}{\sqrt{14}}\bigr).

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