Mostre que para um corpo extenso rígido, a sua energia potencial gravitacional total sempre pode ser descrita como U=M h_{C M}, onde M é a massa total do corpo e h_{C M} a altura do seu centro de massa. Dica: Considere o corpo extenso como formado por uma coleção de partículas pontuais de massa d m.

Passo 1

O enunciado pede que se mostre que a energia potencial gravitacional total de um corpo extenso rígido pode ser escrita como U = M g h_{C M}, onde:
  • M é a massa total do corpo;
  • h_{C M} é a altura do centro de massa em relação a uma referência escolhida (por exemplo, o solo);
  • g é a aceleração da gravidade (assume-se aqui campo gravitacional uniforme, isto é, g constante em todo o corpo).
    Informação dada a usar: considerar o corpo como formado por uma coleção de partículas pontuais de massa infinitesimal d m.

Passo 2

Conceito básico — energia potencial de uma partícula pontual: Para uma partícula de massa m situada a uma altura h num campo gravitacional uniforme, a energia potencial (relativa à referência h=0) é
U_{\text{part}} = m g h.
Explanação: aqui m é a massa da partícula, g é a aceleração da gravidade (constante) e h é a coordenada vertical que mede a altura da partícula acima do nível escolhido como zero. O sinal positivo indica que, quanto maior a altura, maior a energia potencial (convenção usual).

Passo 3

Dividindo o corpo extenso em elementos de massa: Imagine o corpo como um conjunto de muitos elementos infinitesimais de massa d m, cada um localizado numa altura h (que pode variar de elemento para elemento). A contribuição infinitesimal de energia potencial desses elementos é
dU = g\,h\,d m.
Explicação didática: é a mesma fórmula do caso pontual, mas aplicada a cada pedaço pequeno do corpo. A ideia é somar (integrar) todas essas contribuições para obter a energia potencial total.

Passo 4

Somando (integrando) sobre todo o corpo: A energia potencial total U é a integral das contribuições dU em todo o corpo:
U = \int dU = \int g\,h\,d m.
Como g é constante (campo uniforme), ele pode sair da integral:
U = g \int h\,d m.
Explicação técnica: a integral \int h\,d m é a soma das alturas ponderadas pelas massas dos elementos — isso já lembra a definição do centro de massa.

Passo 5

Definição do centro de massa (altura): A altura do centro de massa h_{C M} é definida por
h_{C M} = \frac{1}{M}\int h\,d m,
onde M=\int d m é a massa total do corpo. Explicando as variáveis: h_{C M} é o valor médio (ponderado pela massa) das alturas dos pontos do corpo; M é a soma de todas as massas infinitesimais.

Passo 6

Substituindo a definição na expressão de U: Usando a definição de h_{C M} na integral da energia potencial,
\int h\,d m = M\,h_{C M},
então da equação do Passo 4 obtemos
U = g \, M \, h_{C M}.
Interpretação física simples: a energia potencial do corpo extenso é igual à energia potencial de uma massa pontual M colocada na posição do centro de massa.

Passo 7

Observações importantes e condições de validade:
  • A igualdade U = g M h_{C M} requer que o campo gravitacional seja essencialmente uniforme sobre o corpo (ou seja, g constante). Para corpos pequenos perto da superfície terrestre essa é uma excelente aproximação.
  • Se o campo não for uniforme (por exemplo, se a variação de g sobre o corpo for relevante), a expressão geral é
U = \int \varphi(\mathbf r)\,d m,
onde \varphi(\mathbf r) é o potencial gravitacional por unidade de massa; nesse caso, nem sempre U = M\varphi(\mathbf r_{C M}), embora, ao expandir \varphi em série ao redor do centro de massa, o termo linear se anule e reste U \approx M\varphi(\mathbf r_{C M}) mais correções quadrupolares, etc.
  • Em muitos problemas de mecânica (exames e aplicações práticas), a hipótese de campo uniforme é adotada e a fórmula final é a que usamos.

Passo 8

Exemplo rápido para fixar (dois pontos): Considere duas massas m_1 em altura h_1 e m_2 em altura h_2. A energia total é
U = m_1 g h_1 + m_2 g h_2 = g(m_1 h_1 + m_2 h_2).
O centro de massa tem altura
h_{C M} = \frac{m_1 h_1 + m_2 h_2}{m_1+m_2},
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U = g(m_1+m_2)h_{C M} = g M h_{C M},
confirmando a fórmula de modo concreto. Força aí — é exatamente a conta que você faria na prova.

Resposta

U = g M h_{C M}

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