Mostre que para um corpo extenso rígido, a sua energia potencial gravitacional total sempre pode ser descrita como
, onde
é a massa total do corpo e
a altura do seu centro de massa. Dica: Considere o corpo extenso como formado por uma coleção de partículas pontuais de massa
.
Passo 1
O enunciado pede que se mostre que a energia potencial gravitacional total de um corpo extenso rígido pode ser escrita como
, onde:
-
é a massa total do corpo; -
é a altura do centro de massa em relação a uma referência escolhida (por exemplo, o solo); -
é a aceleração da gravidade (assume-se aqui campo gravitacional uniforme, isto é, constante em todo o corpo).
Informação dada a usar: considerar o corpo como formado por uma coleção de partículas pontuais de massa infinitesimal.
Passo 2
Conceito básico — energia potencial de uma partícula pontual: Para uma partícula de massa
situada a uma altura
num campo gravitacional uniforme, a energia potencial (relativa à referência
) é
Explanação: aqui
é a massa da partícula,
é a aceleração da gravidade (constante) e
é a coordenada vertical que mede a altura da partícula acima do nível escolhido como zero. O sinal positivo indica que, quanto maior a altura, maior a energia potencial (convenção usual).
Passo 3
Dividindo o corpo extenso em elementos de massa: Imagine o corpo como um conjunto de muitos elementos infinitesimais de massa
, cada um localizado numa altura
(que pode variar de elemento para elemento). A contribuição infinitesimal de energia potencial desses elementos é
Explicação didática: é a mesma fórmula do caso pontual, mas aplicada a cada pedaço pequeno do corpo. A ideia é somar (integrar) todas essas contribuições para obter a energia potencial total.
Passo 4
Somando (integrando) sobre todo o corpo: A energia potencial total
é a integral das contribuições
em todo o corpo:
Como
é constante (campo uniforme), ele pode sair da integral:
Explicação técnica: a integral
é a soma das alturas ponderadas pelas massas dos elementos — isso já lembra a definição do centro de massa.
Passo 5
Definição do centro de massa (altura): A altura do centro de massa
é definida por
onde
é a massa total do corpo. Explicando as variáveis:
é o valor médio (ponderado pela massa) das alturas dos pontos do corpo;
é a soma de todas as massas infinitesimais.
Passo 6
Substituindo a definição na expressão de
: Usando a definição de
na integral da energia potencial,
então da equação do Passo 4 obtemos
Interpretação física simples: a energia potencial do corpo extenso é igual à energia potencial de uma massa pontual
colocada na posição do centro de massa.
Passo 7
Observações importantes e condições de validade:
- A igualdade
requer que o campo gravitacional seja essencialmente uniforme sobre o corpo (ou seja, constante). Para corpos pequenos perto da superfície terrestre essa é uma excelente aproximação. - Se o campo não for uniforme (por exemplo, se a variação de
sobre o corpo for relevante), a expressão geral é
onde
é o potencial gravitacional por unidade de massa; nesse caso, nem sempre
, embora, ao expandir
em série ao redor do centro de massa, o termo linear se anule e reste
mais correções quadrupolares, etc.
- Em muitos problemas de mecânica (exames e aplicações práticas), a hipótese de campo uniforme é adotada e a fórmula final é a que usamos.
Passo 8
Exemplo rápido para fixar (dois pontos): Considere duas massas
em altura
e
em altura
. A energia total é
O centro de massa tem altura
logo
confirmando a fórmula de modo concreto. Força aí — é exatamente a conta que você faria na prova.