Um astronauta de massa m=100 \mathrm{~kg} e momento de inércia I_{a}=2 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} está em uma grande cápsula espacial esférica de massa M=300 \mathrm{~kg}, raio R=40 \mathrm{~m} e momento de inércia 2 M R^{2} / 3. O sistema está no espaço sideral em repouso, quando um meteorito atinge a cápsula, que começa a rodar em torno de seu eixo com velocidade angular \omega=2 \times 10^{-4} \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Com que velocidade angular o astronauta deve rodar (em torno do mesmo eixo de rotação da cápsula) para que a cápsula pare de girar? A energia cinética é conservada neste caso? Justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • massa do astronauta: m=100\\ \mathrm{kg}.
    • momento de inércia do astronauta em torno do eixo considerado: I_{a}=2\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
    • massa da cápsula: M=300\\ \mathrm{kg}.
    • raio da cápsula: R=40\\ \mathrm{m}.
    • momento de inércia da cápsula: I_{\text{cápsula}}=\dfrac{2 M R^{2}}{3}á.
    • o sistema está inicialmente em repouso e, após o impacto do meteorito, a cápsula passa a girar com velocidade angular \omega=2\times10^{-4}\\ \mathrm{rad/s}. Inicialmente o astronauta está girando com a cápsula (mesma velocidade angular).
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar com que velocidade angular (módulo e sentido) o astronauta deve girar em torno do mesmo eixo para que a cápsula pare de girar (isto é, para que a velocidade angular da cápsula fique nula em relação a um referencial inercial).
    2. Dizer se a energia cinética é conservada nesse processo e justificar.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar e por quê (explicação didática curta):
  • Para um sistema isolado (sem torque externo resultante) o momento angular total é conservado. Aqui, depois do impacto, quando o astronauta começa a girar dentro da cápsula não há torque externo sobre o sistema cápsula+astronauta (supondo que a interação com o espaço seja desprezível), portanto o momento angular total em relação ao eixo fixo deve permanecer constante.
  • Definição e fórmula: o momento angular de um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo é dado por \,L=I\omega, onde I é seu momento de inércia em relação ao eixo e \omega é sua velocidade angular (sinal indica sentido). Para vários corpos, o momento angular total é a soma: \,L_{\text{total}}=\sum I_i\omega_i.
  • Observação: a conservação do momento angular permite encontrar relação entre velocidades angulares antes e depois; entretanto a energia cinética rotacional \tfrac{1}{2}I\omega^2 não precisa ser conservada em interações internas — pode aumentar ou diminuir dependendo do trabalho realizado pelas forças internas (por exemplo, o astronauta fazendo força com seus músculos).

Passo 3

Calcular explicitamente o momento de inércia da cápsula (contando os passos aritméticos):
I_{\text{cápsula}}=\frac{2MR^{2}}{3}.á
Substituindo M=300 e R=40:
R^{2}=40^{2}=1600,
I_{\text{cápsula}}=\frac{2\cdot300\cdot1600}{3}=\frac{600\cdot1600}{3}=\frac{960000}{3}=320000\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.á

Passo 4

Calcular o momento angular total inicial (quando tudo gira junto com \omega):
  • O momento de inércia total inicial em relação ao eixo é I_{\text{total}}^{\text{ini}}=I_{\text{cápsula}}+I_{a}=320000+2=320002\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}á.
  • A velocidade angular inicial é \omega_{\text{ini}}=2\times10^{-4}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Logo o momento angular total inicial é
L_{\text{ini}}=I_{\text{total}}^{\text{ini}}\;\omega_{\text{ini}}=(320002)\cdot\left(2\times10^{-4}\right).
Fazendo a conta:
320002\times2\times10^{-4}=640004\times10^{-4}=64{,}0004\times10^{-3}=64{,}0004\times10^{-3}\\ \text{(mas vamos simplificar)}.
Mais direto:
L_{\text{ini}}=320002\cdot0{,}0002=64{,}0004\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.

Passo 5

Escrever a conservação do momento angular entre o estado inicial e o estado final desejado:
  • Estado final desejado: cápsula parada no referencial inercial, isto é \omega_{\text{cápsula, final}}=0á. O astronauta terá alguma velocidade angular \omega_{a,\text{final}} (sentido oposto ao inicial) e, assumindo o centro de massa do astronauta fixo em relação à cápsula, apenas a rotação interna do astronauta contribui para o momento angular final.
  • Conservação do momento angular:
L_{\text{ini}}=L_{\text{final}}
(I_{\text{cápsula}}+I_{a})\,\omega_{\text{ini}}=I_{a}\,\omega_{a,\text{final}} + I_{\text{cápsula}}\cdot 0.áá
Daí isolamos \omega_{a,\text{final}}:
\omega_{a,\text{final}}=\frac{(I_{\text{cápsula}}+I_{a})}{I_{a}}\;\omega_{\text{ini}}.á
Observação sobre o sentido: se a cápsula girava com \omega_{\text{ini}}>0, para anular a rotação da cápsula o astronauta terá de girar no sentido negativo (oposto). A equação spectraliza o módulo; o sinal final será negativo (oposto ao de \omega_{\text{ini}}).

Passo 6

Substituir números e calcular a velocidade angular requerida (passo a passo numérico):
\omega_{a,\text{final}}=\frac{320002}{2}\cdot\left(2\times10^{-4}\right).
Primeiro a razão:
\frac{320002}{2}=160001.
Agora:
\omega_{a,\text{final}}=160001\cdot0{,}0002.
Multiplicando:
160001\times0{,}0002=32{,}0002\\ \mathrm{rad/s}.
Incluindo o sentido (oposto ao inicial), temos
\omega_{a,\text{final}}=-32{,}0002\\ \mathrm{rad/s}.
Em termos práticos pode-se aproximar para \omega_{a,\text{final}}\approx -32{,}0\\ \mathrm{rad/s} (o sinal negativo indica sentido oposto ao da rotação original da cápsula).

Passo 7

Avaliar a conservação da energia cinética: calcular a energia cinética rotacional inicial.
  • Fórmula da energia cinética rotacional de um corpo rígido: \,K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}.
  • Energia cinética inicial total (cápsula + astronauta girando junto):
K_{\text{ini}}=\tfrac{1}{2}(I_{\text{cápsula}}+I_{a})\,\omega_{\text{ini}}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot320002\cdot(0{,}0002)^{2}.á
Calcular passo a passo:
(0{,}0002)^{2}=4\times10^{-8}=0{,}00000004,
320002\times4\times10^{-8}=1{,}280008\times10^{-2}=0{,}01280008,
K_{\text{ini}}=\tfrac{1}{2}\times0{,}01280008=0{,}00640004\\ \mathrm{J}.
Assim K_{\text{ini}}\approx0{,}0064\\ \mathrm{J} (valor muito pequeno).

Passo 8

Calcular a energia cinética rotacional final (cápsula parada, astronauta girando):
K_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}I_{a}\,\omega_{a,\text{final}}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot2\cdot(32{,}0002)^{2}.
Simplificando \tfrac{1}{2}\cdot2=1, então
K_{\text{final}}=(32{,}0002)^{2}.
Calcular:
(32{,}0002)^{2}=32^{2}+2\cdot32\cdot0{,}0002+(0{,}0002)^{2}=1024+1{,}28\times10^{-2}+4\times10^{-8}\approx1024{,}0128.
Logo
K_{\text{final}}\approx1024{,}013\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Conclusão sobre energia e interpretação física (explicação didática):
  • Comparando os valores:
    • K_{\text{ini}}\approx0{,}0064\\ \mathrm{J},
    • K_{\text{final}}\approx1024{,}013\\ \mathrm{J}.
  • A energia cinética aumentou muito: \Delta K\approx1024{,}0066\\ \mathrm{J}.
  • Conclusão: a energia cinética NÃO é conservada neste processo. Explicação física: a conservação do momento angular não implica conservação da energia cinética quando há forças internas que realizam trabalho. Para o astronauta atingir a alta velocidade de rotação necessária (lembrar que sua inércia é pequena), ele precisa aplicar forças com seus músculos (transformando energia química em trabalho mecânico), fornecendo energia ao sistema e aumentando a energia cinética rotacional total. Em resumo: momento angular é conservado (não há torque externo), mas energia se altera porque o astronauta faz trabalho interno (e parte da energia pode também ser dissipada internamente por atritos, etc.).

Passo 10

Recapitulando de forma direta e final: o astronauta precisa girar muito rápido no sentido oposto (porque a cápsula tem grande momento de inércia) e a energia cinética não se conserva; ela aumenta pelo trabalho realizado pelo astronauta.

Resposta

\omega_{\text{astronauta}}=-32{,}0002\\ \mathrm{rad/s} (sentido oposto ao da rotação inicial; aproximadamente -32{,}0\\ \mathrm{rad/s}).
Não, a energia cinética não é conservada (aumenta porque o astronauta realiza trabalho interno).

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