Um astronauta de massa
e momento de inércia
está em uma grande cápsula espacial esférica de massa
, raio
e momento de inércia
. O sistema está no espaço sideral em repouso, quando um meteorito atinge a cápsula, que começa a rodar em torno de seu eixo com velocidade angular
. Com que velocidade angular o astronauta deve rodar (em torno do mesmo eixo de rotação da cápsula) para que a cápsula pare de girar? A energia cinética é conservada neste caso? Justifique.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- massa do astronauta:
. - momento de inércia do astronauta em torno do eixo considerado:
. - massa da cápsula:
. - raio da cápsula:
. - momento de inércia da cápsula:
. - o sistema está inicialmente em repouso e, após o impacto do meteorito, a cápsula passa a girar com velocidade angular
. Inicialmente o astronauta está girando com a cápsula (mesma velocidade angular).
- massa do astronauta:
- O que o enunciado pede:
- Determinar com que velocidade angular (módulo e sentido) o astronauta deve girar em torno do mesmo eixo para que a cápsula pare de girar (isto é, para que a velocidade angular da cápsula fique nula em relação a um referencial inercial).
- Dizer se a energia cinética é conservada nesse processo e justificar.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar e por quê (explicação didática curta):
- Para um sistema isolado (sem torque externo resultante) o momento angular total é conservado. Aqui, depois do impacto, quando o astronauta começa a girar dentro da cápsula não há torque externo sobre o sistema cápsula+astronauta (supondo que a interação com o espaço seja desprezível), portanto o momento angular total em relação ao eixo fixo deve permanecer constante.
- Definição e fórmula: o momento angular de um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo é dado por
, onde é seu momento de inércia em relação ao eixo e é sua velocidade angular (sinal indica sentido). Para vários corpos, o momento angular total é a soma: . - Observação: a conservação do momento angular permite encontrar relação entre velocidades angulares antes e depois; entretanto a energia cinética rotacional
não precisa ser conservada em interações internas — pode aumentar ou diminuir dependendo do trabalho realizado pelas forças internas (por exemplo, o astronauta fazendo força com seus músculos).
Passo 3
Calcular explicitamente o momento de inércia da cápsula (contando os passos aritméticos):
Substituindo
e
:
Passo 4
Calcular o momento angular total inicial (quando tudo gira junto com
):
- O momento de inércia total inicial em relação ao eixo é
. - A velocidade angular inicial é
. - Logo o momento angular total inicial é
Fazendo a conta:
Mais direto:
Passo 5
Escrever a conservação do momento angular entre o estado inicial e o estado final desejado:
- Estado final desejado: cápsula parada no referencial inercial, isto é
. O astronauta terá alguma velocidade angular (sentido oposto ao inicial) e, assumindo o centro de massa do astronauta fixo em relação à cápsula, apenas a rotação interna do astronauta contribui para o momento angular final. - Conservação do momento angular:
Daí isolamos
:
Observação sobre o sentido: se a cápsula girava com
, para anular a rotação da cápsula o astronauta terá de girar no sentido negativo (oposto). A equação spectraliza o módulo; o sinal final será negativo (oposto ao de
).
Passo 6
Substituir números e calcular a velocidade angular requerida (passo a passo numérico):
Primeiro a razão:
Agora:
Multiplicando:
Incluindo o sentido (oposto ao inicial), temos
Em termos práticos pode-se aproximar para
(o sinal negativo indica sentido oposto ao da rotação original da cápsula).
Passo 7
Avaliar a conservação da energia cinética: calcular a energia cinética rotacional inicial.
- Fórmula da energia cinética rotacional de um corpo rígido:
. - Energia cinética inicial total (cápsula + astronauta girando junto):
Calcular passo a passo:
Assim
(valor muito pequeno).
Passo 8
Calcular a energia cinética rotacional final (cápsula parada, astronauta girando):
Simplificando
, então
Calcular:
Logo
Passo 9
Conclusão sobre energia e interpretação física (explicação didática):
- Comparando os valores:
-
, -
.
-
- A energia cinética aumentou muito:
. - Conclusão: a energia cinética NÃO é conservada neste processo. Explicação física: a conservação do momento angular não implica conservação da energia cinética quando há forças internas que realizam trabalho. Para o astronauta atingir a alta velocidade de rotação necessária (lembrar que sua inércia é pequena), ele precisa aplicar forças com seus músculos (transformando energia química em trabalho mecânico), fornecendo energia ao sistema e aumentando a energia cinética rotacional total. Em resumo: momento angular é conservado (não há torque externo), mas energia se altera porque o astronauta faz trabalho interno (e parte da energia pode também ser dissipada internamente por atritos, etc.).
Passo 10
Recapitulando de forma direta e final: o astronauta precisa girar muito rápido no sentido oposto (porque a cápsula tem grande momento de inércia) e a energia cinética não se conserva; ela aumenta pelo trabalho realizado pelo astronauta.
Resposta
Não, a energia cinética não é conservada (aumenta porque o astronauta realiza trabalho interno).