A container of weight W is suspended from ring A. Cable B A C passes through the ring and is attached to fixed supports at B and C. Two forces \mathbf{P}=P \mathbf{i} and \mathbf{Q}=Q \mathbf{k} are applied to the ring to maintain the container in the position shown. Knowing that W=376 \mathrm{~N}, determine P and Q. (Hint: The tension is the same in both portions of cable B A C.)

Passo 1

O enunciado (resumido e exatamente como foi dado) nos fornece:
  • Um anel em A sustenta um recipiente de peso W (força vertical para baixo). Foi dado que W=376\\ \mathrm{N}.
  • Um cabo passa por esse anel e tem duas porções ligadas a apoios fixos em B e C. A tensão nas duas porções do cabo é a mesma (dado do enunciado).
  • Dois esforços externos atuam no anel: \mathbf{P}=P\,\mathbf{i} (aplicado na direção x) e \mathbf{Q}=Q\,\mathbf{k} (aplicado na direção z).
  • O enunciado pede: determinar P e Q.
Importante: o enunciado menciona “na posição mostrada” e, portanto, depende da geometria (ângulos ou coordenadas dos pontos B, A e C). Essa figura/geométrica não foi fornecida junto com o enunciado recebido aqui.

Passo 2

Montar a equação de equilíbrio do anel (estática, corpo em equilíbrio). A soma vetorial de todas as forças que atuam no anel deve ser nula:
\sum \mathbf{F}=\mathbf{0}.
Quais forças atuam no anel?
  • A tensão T na porção AB, atuando na direção de A para B. Vou chamar a unidade direcional dessa porção de \mathbf{u}_{AB}.
  • A tensão T na porção AC, atuando na direção de A para C. Unidade direcional \mathbf{u}_{AC}.
    (Observação: a dica do enunciado garante T igual em ambas as porções.)
  • A força \mathbf{P}=P\,\mathbf{i}.
  • A força \mathbf{Q}=Q\,\mathbf{k}.
  • O peso do recipiente \mathbf{W}=-W\,\mathbf{j} (para baixo, supondo \mathbf{j} como eixo vertical positivo para cima).
Logo a equação vetorial é
T\mathbf{u}_{AB} + T\mathbf{u}_{AC} + P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{k} - W\,\mathbf{j}=\mathbf{0}.
Aqui é importante entender como obter \mathbf{u}_{AB} e \mathbf{u}_{AC}: se as coordenadas dos pontos A,B,C forem
\mathbf{r}_A=(x_A,y_A,z_A), \mathbf{r}_B=(x_B,y_B,z_B), \mathbf{r}_C=(x_C,y_C,z_C),
então os vetores direcionais são
\overrightarrow{AB}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A,\qquad \overrightarrow{AC}=\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_A,
e as unidades direcionais são
\mathbf{u}_{AB}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|},\qquad \mathbf{u}_{AC}=\frac{\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AC}\|},
isto é, componente a componente:
\mathbf{u}_{AB}=\bigl(u_{AB,x},\,u_{AB,y},\,u_{AB,z}\bigr), \qquad \mathbf{u}_{AC}=\bigl(u_{AC,x},\,u_{AC,y},\,u_{AC,z}\bigr),
com cada componente dada por, por exemplo,
u_{AB,x}=\dfrac{x_B-x_A}{\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}},
e analogamente para as outras componentes.

Passo 3

Projetar a equação vetorial nas três direções cartesianas para obter as três equações escalares de equilíbrio. Das componentes de
T\mathbf{u}_{AB} + T\mathbf{u}_{AC} + P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{k} - W\,\mathbf{j}=\mathbf{0}
temos, nas direções x,y,z:
\text{(x)}\qquad T\bigl(u_{AB,x}+u_{AC,x}\bigr) + P = 0,
\text{(y)}\qquad T\bigl(u_{AB,y}+u_{AC,y}\bigr) - W = 0,
\text{(z)}\qquad T\bigl(u_{AB,z}+u_{AC,z}\bigr) + Q = 0.
Explico cada linha: na direção y só atuam as componentes verticais das tensões (positivas para cima) e o peso W para baixo; nas direções x e z as componentes das tensões são equilibradas pelas forças P e Q.

Passo 4

Da equação na direção y isolamos T:
T=\dfrac{W}{\,u_{AB,y}+u_{AC,y}\,}.
(Observação: isso exige u_{AB,y}+u_{AC,y}\neq 0; fisicamente as duas porções de cabo devem fornecer componente vertical para sustentar o peso.)
Substituindo esse T nas equações x e z obtemos P e Q:
P = -T\bigl(u_{AB,x}+u_{AC,x}\bigr) = -\dfrac{W}{\,u_{AB,y}+u_{AC,y}\,}\,\bigl(u_{AB,x}+u_{AC,x}\bigr),
Q = -T\bigl(u_{AB,z}+u_{AC,z}\bigr) = -\dfrac{W}{\,u_{AB,y}+u_{AC,y}\,}\,\bigl(u_{AB,z}+u_{AC,z}\bigr).
Essas duas fórmulas dão P e Q em função de W e das componentes dos vetores unitários das porções do cabo, as quais dependem da geometria (posição de B, A, C).

Passo 5

Resumo do que fazer na prática (como proceder passo a passo na prova):
  1. Ler da figura as coordenadas (ou as distâncias/ângulos) dos pontos B, A e C.
  2. Calcular \overrightarrow{AB}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A e \overrightarrow{AC}=\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_A.
  3. Calcular os comprimentos \|\overrightarrow{AB}\| e \|\overrightarrow{AC}\|.
  4. Formar \mathbf{u}_{AB} e \mathbf{u}_{AC} dividindo cada vetor pelo seu comprimento.
  5. Usar \;T=\dfrac{W}{u_{AB,y}+u_{AC,y}}\; para obter T.
  6. Calcular P e Q pelas fórmulas
P = -T\bigl(u_{AB,x}+u_{AC,x}\bigr),\qquad Q = -T\bigl(u_{AB,z}+u_{AC,z}\bigr).
  1. Interpretar sinais: se o resultado de P for negativo, o sentido real da força P é no sentido -\mathbf{i}; o mesmo para Q e \mathbf{k}.

Passo 6

Conclusão sobre os valores numéricos: para obter os valores numéricos de P e Q é imprescindível conhecer a geometria (ângulos ou coordenadas) que definem \mathbf{u}_{AB} e \mathbf{u}_{AC}. Essa informação está na figura mencionada pelo enunciado e não foi fornecida aqui. Sem ela não é possível calcular numericamente P e Q. Contudo, as fórmulas finais (para uso assim que a geometria for conhecida) são as dadas no Passo 4.

Resposta

Não é possível determinar numericamente P e Q porque a figura (ou as coordenadas/ângulos que definem as direções das porções AB e AC) não foi fornecida. As expressões gerais são:
P = -\dfrac{W}{\,u_{AB,y}+u_{AC,y}\,}\,\bigl(u_{AB,x}+u_{AC,x}\bigr), \qquad Q = -\dfrac{W}{\,u_{AB,y}+u_{AC,y}\,}\,\bigl(u_{AB,z}+u_{AC,z}\bigr),
com \mathbf{u}_{AB} e \mathbf{u}_{AC} as unidades direcionais calculadas a partir das posições de B,A,C.

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