QUESTÃO 3)
Calcular o empuxo ativo na estrutura de contenção com os dois tipos de solos diferentes pelo Método de Rankine. OBS: considerar NA como o nível d’água da camada de solo.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o empuxo ativo na estrutura de contenção usando o Método de Rankine, para um perfil com dois tipos de solo diferentes, considerando NA como o nível d’água da camada de solo.
Informações que o enunciado NÃO fornece (são essenciais para calcular numericamente o empuxo):
- valores dos ângulos de atrito interno de cada solo
e ; - pesos específicos (unitários) de cada solo
e ; - profundidades/espessuras das duas camadas de solo (por exemplo: primeira camada de
a , segunda de a ); - posição do nível d’água (NA) em relação à superfície (profundidade
); - geometria e altura da parede (parede vertical assumida? parede inclinada?);
- se há sobrecarga ou superfície livre horizontal com inclinação (surcharge) e valor
; - hipótese sobre atrito parede-solo (Rankine puro assume atrito parede-solo
ou parede vertical sem atrito).
Por causa da falta desses dados e da provável dependência de uma figura que não foi enviada, NÃO é possível calcular um valor numérico do empuxo. Abaixo eu não inventei números; em vez disso vou apresentar passo a passo didático e completo do método para que, quando você tiver os dados (ou a figura), consiga aplicar direto na prova.
Passo 2
Conceitos e hipóteses do Método de Rankine (o que precisa saber antes de calcular).
- Rankine determina os coeficientes de empuxo considerando o solo como um meio homogêneo, com superfície de terreno livre e sem atrito entre parede e terreno (ou parede vertical com
). As hipóteses importantes: - solo sem coesão (ou coesão desprezível) se for usar a forma clássica;
- superfície do terreno é horizontal (se não for, há modificações);
- parede vertical (situação mais comum para Rankine clássico).
- Coeficiente de empuxo ativo
: onde é o ângulo de atrito interno do solo. Explicando: mede a resistência interna do solo; quanto maior , menor o empuxo (menor ). Para calcular, converta em graus e aplique a fórmula (ou usar formula equivalente ). - Para dois solos diferentes, cada solo tem o seu
: e .
Passo 3
Tensões verticais, pressões de poro e tensões efetivas (como tratar o nível d’água).
- Convenção de profundidade: tomamos
- Se há nível d’água em
(profundidade medida a partir da superfície), a pressão de poro é: onde ou conforme o sistema de unidades). - Tensão vertical efetiva:
]
Passo 4
Como obter a pressão lateral total sobre a parede em cada profundidade
.
- Pelo princípio: pressão lateral total
= pressão lateral efetiva (da terra) + pressão de poro - Em Rankine, a tensão horizontal efetiva é dada por
- Portanto, para pontos acima do nível d’água (
, ): É uma função linear de (cresce como uma rampa: zero na superfície). - Para pontos abaixo do nível d’água (
): Assim Essa expressão também é linear em . É útil reorganizar em forma , com
Passo 5
Resultado de força (empuxo) para uma camada homogênea (integração da pressão).
- Para um segmento de parede que corresponde a uma camada de solo com coeficiente
e peso , entre profundidades e , a força resultante por unidade de comprimento (em direção horizontal) é a integral da pressão: - Caso 1: toda a camada está acima do NA (
). Então e Isso é a área de um trapézio / triângulo (se , reduz a ). - Caso 2: toda a camada está abaixo do NA (
). Então use com dados antes. A integral é - Caso 3: a camada é atravessada pelo NA (isto é,
). Então divide-se a camada em duas partes: (acima da água) e (abaixo); calcular em cada parte com as fórmulas dos casos 1 e 2 e somar.
Passo 6
Somar contribuições de todas as camadas e incluir sobrecargas se houver.
- Se há duas camadas (superior:
com parâmetros ; inferior: com ), calcule: -
e . - Determine posição do NA
relativa à superfície e divida cada camada conforme os casos do Passo 5. - Calcule
para a porção da camada 1 (usando fórmula apropriada) e para a camada 2. - Empuxo total por unidade de comprimento da parede:
onde representa a contribuição de cargas superficiais uniformes , se houver. Para uma sobrecarga aplicada na superfície, Rankine dá pressão lateral constante e a contribuição resultante sobre a altura é: se estiver atuando sobre toda a extensão do terreno até a altura ; adapte conforme o caso real.
-
Passo 7
Posição da resultante (braço de aplicação) — útil na prova para momentos.
- A abscissa vertical da linha de ação (distância a partir da superfície) é dada por:
- Para
(acima do NA): Logo Para uma camada começando em até , isso reduz a (como o triângulo clássico). - Para
(abaixo do NA), calcule: e então - Para o empuxo total, calcule o momento resultante somando os momentos das camadas e dividindo por
.
Passo 8
Checklist prático (passo-a-passo que você faz na prova quando tiver a figura/dados)
- Ler figura: anotar alturas
, , , (se houver), geometria da parede. - Calcular
e com a fórmula de Rankine. - Para cada camada, determinar se está acima, abaixo ou atravessada pela NA; dividir onde necessário.
- Para cada subintervalo, usar as fórmulas do Passo 5 para
. - Somar
de todas as partes e incluir sobrecargas conforme aplicável. - (Se pedido) calcular
usando integrais do Passo 7. - Reportar
(por unidade de comprimento da parede, usualmente em kN/m) e a posição da resultante.
Dica de memorização rápida: acima da água, p(z) é simplesmente uma rampa
. Abaixo da água, a rampa “muda de inclinação” porque a parte efetiva tem
e há ainda a pressão hidrostática que soma.
Passo 9
Exemplo simbólico (coisa rápida para ver a forma final) — não usa números:
Suponha camada 1 de a
(acima da água) e camada 2 de
a
(abaixo da água). Então:
Suponha camada 1 de
-
- Para camada 2, com
e : - Empuxo total por unidade comprimento:
Com os números reais você substitui
e obtém o valor numérico.
Resposta
Não é possível fornecer o valor numérico do empuxo ativo porque faltam dados essenciais (ângulos de atrito
; pesos específicos
; profundidades/espessuras das camadas; posição do NA
; geometria/altura da parede; eventual sobrecarga
).