QUESTÃO 3) (\mathbf{4 , 0}) Calcular o empuxo ativo na estrutura de contenção com os dois tipos de solos diferentes pelo Método de Rankine. OBS: considerar NA como o nível d’água da camada de solo.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o empuxo ativo na estrutura de contenção usando o Método de Rankine, para um perfil com dois tipos de solo diferentes, considerando NA como o nível d’água da camada de solo.
Informações que o enunciado NÃO fornece (são essenciais para calcular numericamente o empuxo):
  • valores dos ângulos de atrito interno de cada solo \phi_1 e \phi_2;
  • pesos específicos (unitários) de cada solo \gamma_1 e \gamma_2;
  • profundidades/espessuras das duas camadas de solo (por exemplo: primeira camada de 0 a z_1, segunda de z_1 a z_2);
  • posição do nível d’água (NA) em relação à superfície (profundidade z_{NA});
  • geometria e altura da parede (parede vertical assumida? parede inclinada?);
  • se há sobrecarga ou superfície livre horizontal com inclinação (surcharge) e valor q;
  • hipótese sobre atrito parede-solo (Rankine puro assume atrito parede-solo \delta=0 ou parede vertical sem atrito).
Por causa da falta desses dados e da provável dependência de uma figura que não foi enviada, NÃO é possível calcular um valor numérico do empuxo. Abaixo eu não inventei números; em vez disso vou apresentar passo a passo didático e completo do método para que, quando você tiver os dados (ou a figura), consiga aplicar direto na prova.

Passo 2

Conceitos e hipóteses do Método de Rankine (o que precisa saber antes de calcular).
  • Rankine determina os coeficientes de empuxo considerando o solo como um meio homogêneo, com superfície de terreno livre e sem atrito entre parede e terreno (ou parede vertical com \delta=0). As hipóteses importantes:
    • solo sem coesão (ou coesão desprezível) se for usar a forma clássica;
    • superfície do terreno é horizontal (se não for, há modificações);
    • parede vertical (situação mais comum para Rankine clássico).
  • Coeficiente de empuxo ativo K_a: K_a = \tan^2\!\left(45^\circ - \dfrac{\varphi}{2}\right),onde \varphi é o ângulo de atrito interno do solo. Explicando: \varphi mede a resistência interna do solo; quanto maior \varphi, menor o empuxo (menor K_a). Para calcular, converta \varphi em graus e aplique a fórmula (ou usar formula equivalente K_a = \dfrac{1-\sin\varphi}{1+\sin\varphi}).
  • Para dois solos diferentes, cada solo tem o seu K_a: K_{a1} e K_{a2}.

Passo 3

Tensões verticais, pressões de poro e tensões efetivas (como tratar o nível d’água).
  • Convenção de profundidade: tomamos z\) positivo para baixo, com \(z=0\) na superfície livre do terreno. - Peso específico do solo \(\gamma\) (por exemplo em \(\text{kN/m}^3\)) gera a tensão vertical total: \[\sigma_v(z) = \gamma \, z \quad\text{(se começamos do topo com \(z=0\)).}
  • Se há nível d’água em z_{NA} (profundidade medida a partir da superfície), a pressão de poro u(z) é: u(z) = \begin{cases} 0, & z \le z_{NA},\\[6pt] \gamma_w (z - z_{NA}), & z > z_{NA}, \end{cases}onde \gamma_w\] é o peso específico da água (tipicamente \(9{,}81\\ \text{kN/m}^3 ou \approx 9{,}8\\ \text{kN/m}^3 conforme o sistema de unidades).
  • Tensão vertical efetiva: \sigma'_v(z) = \sigma_v(z) - u(z).]

Passo 4

Como obter a pressão lateral total sobre a parede em cada profundidade z.
  • Pelo princípio: pressão lateral total p(z) = pressão lateral efetiva (da terra) + pressão de poro p(z) = \sigma_h(z) + u(z).
  • Em Rankine, a tensão horizontal efetiva é dada por \sigma_h(z) = K_a \, \sigma'_v(z).
  • Portanto, para pontos acima do nível d’água ( z \le z_{NA}, u=0): p(z) = K_a \, \gamma \, z.É uma função linear de z (cresce como uma rampa: zero na superfície).
  • Para pontos abaixo do nível d’água ( z > z_{NA}): \sigma'_v(z) = \gamma z - \gamma_w (z - z_{NA}) = (\gamma - \gamma_w) z + \gamma_w z_{NA}.Assim p(z) = K_a\big[(\gamma - \gamma_w) z + \gamma_w z_{NA}\big] + \gamma_w (z - z_{NA}).Essa expressão também é linear em z. É útil reorganizar em forma p(z)=A z + B, com A = K_a(\gamma - \gamma_w) + \gamma_w, \qquad B = K_a \gamma_w z_{NA} - \gamma_w z_{NA} = \gamma_w z_{NA}(K_a - 1).

Passo 5

Resultado de força (empuxo) para uma camada homogênea (integração da pressão).
  • Para um segmento de parede que corresponde a uma camada de solo com coeficiente K_a e peso \gamma, entre profundidades z_1 e z_2, a força resultante por unidade de comprimento (em direção horizontal) é a integral da pressão: P_{\text{camada}} = \int_{z_1}^{z_2} p(z)\,dz.
  • Caso 1: toda a camada está acima do NA ( z_2 \le z_{NA}). Então p(z)=K_a\gamma z e P_{\text{camada}} = \int_{z_1}^{z_2} K_a\gamma z\,dz = K_a\gamma \,\frac{z_2^2 - z_1^2}{2}.Isso é a área de um trapézio / triângulo (se z_1=0, reduz a K_a\gamma z_2^2/2).
  • Caso 2: toda a camada está abaixo do NA ( z_1 \ge z_{NA}). Então use p(z)=A z + B com A,B dados antes. A integral é P_{\text{camada}} = \int_{z_1}^{z_2} (A z + B)\,dz = A\,\frac{z_2^2 - z_1^2}{2} + B\, (z_2 - z_1).
  • Caso 3: a camada é atravessada pelo NA (isto é, z_1 < z_{NA} < z_2). Então divide-se a camada em duas partes: [z_1,z_{NA}] (acima da água) e [z_{NA},z_2] (abaixo); calcular P em cada parte com as fórmulas dos casos 1 e 2 e somar.

Passo 6

Somar contribuições de todas as camadas e incluir sobrecargas se houver.
  • Se há duas camadas (superior: 0\le z \le z_1 com parâmetros \gamma_1,\phi_1; inferior: z_1\le z \le z_2 com \gamma_2,\phi_2), calcule:
    1. K_{a1} = \tan^2\!\left(45^\circ - \dfrac{\phi_1}{2}\right) e K_{a2} = \tan^2\!\left(45^\circ - \dfrac{\phi_2}{2}\right).
    2. Determine posição do NA z_{NA} relativa à superfície e divida cada camada conforme os casos do Passo 5.
    3. Calcule P_1 para a porção da camada 1 (usando fórmula apropriada) e P_2 para a camada 2.
    4. Empuxo total por unidade de comprimento da parede: P_{\text{total}} = P_1 + P_2 + P_{\text{surcharge}},onde P_{\text{surcharge}} representa a contribuição de cargas superficiais uniformes q, se houver. Para uma sobrecarga q aplicada na superfície, Rankine dá pressão lateral constante K_a q e a contribuição resultante sobre a altura H é: P_{\text{surcharge}} = K_a q H,se q estiver atuando sobre toda a extensão do terreno até a altura H; adapte conforme o caso real.

Passo 7

Posição da resultante (braço de aplicação) — útil na prova para momentos.
  • A abscissa vertical da linha de ação (distância a partir da superfície) é dada por: z_{\text{res}} = \dfrac{1}{P_{\text{camada}}} \int_{z_1}^{z_2} z\, p(z)\,dz.
  • Para p(z)=K_a\gamma z (acima do NA): \int_{z_1}^{z_2} z\, p(z)\,dz = K_a\gamma \int_{z_1}^{z_2} z^2\,dz = K_a\gamma \,\frac{z_2^3 - z_1^3}{3}.Logo z_{\text{res}} = \dfrac{K_a\gamma \,\dfrac{z_2^3 - z_1^3}{3}}{K_a\gamma \,\dfrac{z_2^2 - z_1^2}{2}} = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{z_2^3 - z_1^3}{z_2^2 - z_1^2}.Para uma camada começando em z_1=0 até z_2=H, isso reduz a z_{\text{res}} = \dfrac{2}{3} H (como o triângulo clássico).
  • Para p(z)=A z + B (abaixo do NA), calcule: \int_{z_1}^{z_2} z(A z + B)\,dz = A\,\frac{z_2^3 - z_1^3}{3} + B\,\frac{z_2^2 - z_1^2}{2},e então z_{\text{res}} = \dfrac{A\,\dfrac{z_2^3 - z_1^3}{3} + B\,\dfrac{z_2^2 - z_1^2}{2}} {A\,\dfrac{z_2^2 - z_1^2}{2} + B\,(z_2 - z_1)}.
  • Para o empuxo total, calcule o momento resultante somando os momentos das camadas e dividindo por P_{\text{total}}.

Passo 8

Checklist prático (passo-a-passo que você faz na prova quando tiver a figura/dados)
  1. Ler figura: anotar alturas z_1,z_2, \gamma_1,\gamma_2,\phi_1,\phi_2, z_{NA}, q (se houver), geometria da parede.
  2. Calcular K_{a1} e K_{a2} com a fórmula de Rankine.
  3. Para cada camada, determinar se está acima, abaixo ou atravessada pela NA; dividir onde necessário.
  4. Para cada subintervalo, usar as fórmulas do Passo 5 para P_{\text{camada}}.
  5. Somar P de todas as partes e incluir sobrecargas K_a q H conforme aplicável.
  6. (Se pedido) calcular z_{\text{res}} usando integrais do Passo 7.
  7. Reportar P_{\text{total}} (por unidade de comprimento da parede, usualmente em kN/m) e a posição da resultante.
Dica de memorização rápida: acima da água, p(z) é simplesmente uma rampa K_a\gamma z. Abaixo da água, a rampa “muda de inclinação” porque a parte efetiva tem \gamma-\gamma_w e há ainda a pressão hidrostática que soma.

Passo 9

Exemplo simbólico (coisa rápida para ver a forma final) — não usa números:
Suponha camada 1 de 0 a z_1 (acima da água) e camada 2 de z_1 a z_2 (abaixo da água). Então:
  • P_1 = K_{a1}\gamma_1 \dfrac{z_1^2 - 0^2}{2}.
  • Para camada 2, com A_2 = K_{a2}(\gamma_2-\gamma_w)+\gamma_w e B_2=\gamma_w z_{NA}(K_{a2}-1): P_2 = A_2\,\frac{z_2^2 - z_1^2}{2} + B_2\,(z_2 - z_1).
  • Empuxo total por unidade comprimento: P_{\text{total}} = P_1 + P_2 \quad(\text{mais }P_{\text{surcharge}\\ } \text{se houver}).
Com os números reais você substitui \gamma_i,\phi_i,z_1,z_2,z_{NA} e obtém o valor numérico.

Resposta

Não é possível fornecer o valor numérico do empuxo ativo porque faltam dados essenciais (ângulos de atrito \phi_1,\phi_2; pesos específicos \gamma_1,\gamma_2; profundidades/espessuras das camadas; posição do NA z_{NA}; geometria/altura da parede; eventual sobrecarga q).

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