Mostre que a densidade de energia cinética de uma onda sonora descrita por p(x, t)=p0 cos (k x-omega t) é
De

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma onda sonora descrita pela função $ p(x, t) = p_0 \cos(kx - \omega t) $. O que a gente precisa fazer é mostrar que a densidade de energia cinética dessa onda é $ \frac{\Delta E_c}{\Delta V} = \frac{1}{4} \rho_0 \omega^2 p_0^2 \sin^2(kx - \omega t) $. Para isso, vamos usar conceitos de energia cinética em ondas sonoras e relações entre pressão, densidade e velocidade das partículas na onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética por unidade de volume (densidade de energia cinética) em uma onda é dada por $ \frac{1}{2} \rho v^2 $, onde $ \rho $ é a densidade do meio e $ v $ é a velocidade das partículas do meio devido à onda. Mas, como nossa pressão $ p(x, t) $ está relacionada à velocidade das partículas, precisamos encontrar essa relação.

Passo 3

A relação entre a pressão $ p $ e a velocidade das partículas $ v $ em uma onda sonora é dada por $ p = \rho_0 c v $, onde $ \rho_0 $ é a densidade do meio em repouso e $ c $ é a velocidade do som no meio. No nosso caso, podemos reorganizar essa fórmula para encontrar $ v $:
p

Passo 4

Agora, substituímos a expressão da pressão $ p(x, t) = p_0 \cos(kx - \omega t) $ na equação da velocidade:
p(x, t) = p0 cos(kx - omega t)

Passo 5

Sabemos que a relação entre a velocidade do som $ c $, a frequência angular $ \omega $ e o número de onda $ k $ é $ c = \frac{\omega}{k} $. Vamos usar isso para simplificar a expressão da velocidade:
c

Passo 6

Agora que temos a expressão para $ v(x, t) $, vamos calcular $ v^2 $:
v(x, t)

Passo 7

Substituímos $ v^2 $ na fórmula da densidade de energia cinética:
v^2

Passo 8

Simplificamos a expressão:
De

Passo 9

Lembrando que $ c = \frac{\omega}{k} $, podemos substituir $ k = \frac{\omega}{c} $ na expressão:
c = omegak

Passo 10

Simplificamos novamente:
De

Passo 11

Sabemos que $ c^2 = \frac{B}{\rho_0} $, onde $ B $ é o módulo de compressibilidade do meio. Substituindo isso:
c^2 = Brho0

Passo 12

Finalmente, reconhecemos que $ \frac{1}{B} = \frac{\rho_0}{\omega^2} $ (relacionando com as propriedades da onda sonora). Então, substituindo:
1B = rho0omega^2

Passo 13

A expressão final da densidade de energia cinética fica:
De

Resposta

A densidade de energia cinética da onda sonora é
De

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