Mostre que a densidade de energia cinética de uma onda sonora descrita por
é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma onda sonora descrita pela função $ p(x, t) = p_0 \cos(kx - \omega t) $. O que a gente precisa fazer é mostrar que a densidade de energia cinética dessa onda é $ \frac{\Delta E_c}{\Delta V} = \frac{1}{4} \rho_0 \omega^2 p_0^2 \sin^2(kx - \omega t) $. Para isso, vamos usar conceitos de energia cinética em ondas sonoras e relações entre pressão, densidade e velocidade das partículas na onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética por unidade de volume (densidade de energia cinética) em uma onda é dada por $ \frac{1}{2} \rho v^2 $, onde $ \rho $ é a densidade do meio e $ v $ é a velocidade das partículas do meio devido à onda. Mas, como nossa pressão $ p(x, t) $ está relacionada à velocidade das partículas, precisamos encontrar essa relação.
Passo 3
A relação entre a pressão $ p $ e a velocidade das partículas $ v $ em uma onda sonora é dada por $ p = \rho_0 c v $, onde $ \rho_0 $ é a densidade do meio em repouso e $ c $ é a velocidade do som no meio. No nosso caso, podemos reorganizar essa fórmula para encontrar $ v $:
Passo 4
Agora, substituímos a expressão da pressão $ p(x, t) = p_0 \cos(kx - \omega t) $ na equação da velocidade:
Passo 5
Sabemos que a relação entre a velocidade do som $ c $, a frequência angular $ \omega $ e o número de onda $ k $ é $ c = \frac{\omega}{k} $. Vamos usar isso para simplificar a expressão da velocidade:
Passo 6
Agora que temos a expressão para $ v(x, t) $, vamos calcular $ v^2 $:
Passo 7
Substituímos $ v^2 $ na fórmula da densidade de energia cinética:
Passo 8
Simplificamos a expressão:
Passo 9
Lembrando que $ c = \frac{\omega}{k} $, podemos substituir $ k = \frac{\omega}{c} $ na expressão:
Passo 10
Simplificamos novamente:
Passo 11
Sabemos que $ c^2 = \frac{B}{\rho_0} $, onde $ B $ é o módulo de compressibilidade do meio. Substituindo isso:
Passo 12
Finalmente, reconhecemos que $ \frac{1}{B} = \frac{\rho_0}{\omega^2} $ (relacionando com as propriedades da onda sonora). Então, substituindo:
Passo 13
A expressão final da densidade de energia cinética fica:
Resposta
A densidade de energia cinética da onda sonora é