1. Mostre que a derivada da função f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) tem pelo menos duas raízes reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a derivada da função
f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)
possui pelo menos duas raízes reais. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Rolle, que diz: se uma função g é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e g(a)=g(b), então existe c\in(a,b) tal que g'\text{(c)}=0.

Passo 2

Note que f é um polinômio, logo é contínua e diferenciável em \mathbb{R}. Além disso,
f(1) = 0, \quad f(2) = 0, \quad f(3) = 0.
Aplicando Rolle em [1,2], como f(1)=f(2), existe c_{1}\in(1,2) tal que
f'(c_{1}) = 0.

Passo 3

De modo idêntico, em [2,3] temos f(2)=f(3), então existe c_{2}\in(2,3) tal que
f'(c_{2}) = 0.

Resposta

A derivada f'(x) tem pelo menos duas raízes reais, uma em (1,2) e outra em (2,3).

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