Mostre que o determinante da matriz Jacobiana de uma função f(z) holomorfa é igual a \left|f^{\prime}(z)\right|^{2}.
Definição. A matriz Jacobiana da função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f(x, y)=(u(x, y), v(x, y)) é a matriz
D f=\left[\begin{array}{ll} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} é holomorfa e escrevemos f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) com z=x+iy, então o determinante da matriz Jacobiana
D f=\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}\\[6pt] \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix}
é igual a \bigl|f'(z)\bigr|^{2}. Para isso vamos usar as equações de Cauchy–Riemann e expressar f'(z) em termos de derivadas parciais de u e v.]

Passo 2

Como f é holomorfa, u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\,\frac{\partial v}{\partial x}.

Passo 3

A derivada complexa de f é dada por
f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Outra forma equivalente, usando Cauchy–Riemann, seria f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\,\frac{\partial u}{\partial y}, mas vamos seguir com a primeira expressão.

Passo 4

O quadrado do módulo de f'(z) é
\bigl|f'(z)\bigr|^{2} = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial x}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{\partial v}{\partial x}\Bigr)^{2}.

Passo 5

O determinante da Jacobiana é
\det Df = \frac{\partial u}{\partial x}\,\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y}\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Usando as relações de Cauchy–Riemann \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} e \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}, obtemos
\det Df = \frac{\partial u}{\partial x}\,\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\,\bigl(-\frac{\partial u}{\partial y}\bigr) = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial x}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{\partial u}{\partial y}\Bigr)^{2}.
Como \bigl(\tfrac{\partial u}{\partial y}\bigr)^{2} = \bigl(\tfrac{\partial v}{\partial x}\bigr)^{2}, concluímos que
\det Df = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial x}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{\partial v}{\partial x}\Bigr)^{2} = \bigl|f'(z)\bigr|^{2}.

Resposta

O determinante da matriz Jacobiana de f é \det Df = \bigl|f'(z)\bigr|^{2}.

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