Mostre que a distância
entre o incentro e o circuncentro de um triângulo é dada por
onde
e
são os raios dos círculos circunscrito e inscrito. Conclua que em qualquer triângulo,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num triângulo qualquer, a distância
entre o circuncentro
e o incentro
satisfaz
sendo
o raio do círculo circunscrito e
o raio do inscrito. Em seguida, devemos concluir que
. Para isso vamos usar coordenadas vetoriais com
na origem e relações entre lados, área e raios.
Passo 2
Colocamos o circuncentro
na origem do plano vetorial e representamos os vértices
por vetores
de comprimento
. É conhecido que o incentro
tem coordenada vetorial dada por
onde
,
,
são os comprimentos dos lados do triângulo.
Passo 3
Calculamos
Como
e
(e ciclos análogos), o numerador fica
Passo 4
Usamos
e a lei dos senos
para transformar
e análogos. Somando todos os termos obtemos
Assim o numerador de
é
Dividindo por
e usando a área
e
com
, nota-se que
Logo
Passo 5
Como
, segue
Resposta
Mostramos que
e, a partir disso, concluímos que em qualquer triângulo vale