Mostre que a distância d entre o incentro e o circuncentro de um triângulo é dada por
d=R^{2}-2 R r \quad \text { (fórmula de Euler) }ó
onde R e r são os raios dos círculos circunscrito e inscrito. Conclua que em qualquer triângulo, R \geq 2 r^{1}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num triângulo qualquer, a distância d=OI entre o circuncentro O e o incentro I satisfaz
OI^2=R^2-2Rr,
sendo R o raio do círculo circunscrito e r o raio do inscrito. Em seguida, devemos concluir que R\ge2r. Para isso vamos usar coordenadas vetoriais com O na origem e relações entre lados, área e raios.

Passo 2

Colocamos o circuncentro O na origem do plano vetorial e representamos os vértices A,B,C por vetores \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} de comprimento \|\mathbf{A}\|=\|\mathbf{B}\|=\|\mathbf{C}\|=R. É conhecido que o incentro I tem coordenada vetorial dada por
\overrightarrow{I} \;=\;\frac{a\,\overrightarrow{A}+b\,\overrightarrow{B}+c\,\overrightarrow{C}}{a+b+c},
onde a=BC, b=CA, c=AB são os comprimentos dos lados do triângulo.

Passo 3

Calculamos
OI^2 \;=\;\|\overrightarrow{I}-\overrightarrow{O}\|^2 \;=\;\|\overrightarrow{I}\|^2 \;=\;\frac{1}{(a+b+c)^2}\Bigl(a^2\|\mathbf{A}\|^2+b^2\|\mathbf{B}\|^2+c^2\|\mathbf{C}\|^2 +2ab\,\mathbf{A}\!\cdot\!\mathbf{B}+2bc\,\mathbf{B}\!\cdot\!\mathbf{C}+2ca\,\mathbf{C}\!\cdot\!\mathbf{A}\Bigr).
Como \|\mathbf{A}\|^2=R^2 e \mathbf{A}\!\cdot\!\mathbf{B}=R^2\cos\angle AOB=R^2\cos2C (e ciclos análogos), o numerador fica
R^2\bigl(a^2+b^2+c^2+2ab\cos2C+2bc\cos2A+2ca\cos2B\bigr).

Passo 4

Usamos \cos2C=1-2\sin^2C e a lei dos senos \sin C = \tfrac{c}{2R} para transformar
2ab\cos2C =2ab - \frac{c^2\,ab}{R^2},
e análogos. Somando todos os termos obtemos
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \;-\;\frac{ab\,c^2+bc\,a^2+ca\,b^2}{R^2} =(a+b+c)^2 \;-\;\frac{abc(a+b+c)}{R^2}.
Assim o numerador de OI^2 é
R^2(a+b+c)^2 \;-\;abc(a+b+c).
Dividindo por (a+b+c)^2 e usando a área \Delta=\tfrac{abc}{4R} e r=\Delta/s com s=\tfrac{a+b+c}{2}, nota-se que
\frac{abc}{a+b+c} \;=\;2Rr.
Logo
OI^2 = R^2 - 2Rr.

Passo 5

Como OI^2\ge0, segue
R^2 - 2Rr\ge0 \;\Longrightarrow\; R(R-2r)\ge0 \;\Longrightarrow\; R\ge2r.

Resposta

Mostramos que
OI^2 = R^2 - 2Rr,
e, a partir disso, concluímos que em qualquer triângulo vale
R \ge 2r.

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