Mostre que dois vetores não nulos u : \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) e v : \left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) são linearmente dependentes se e somente se existe \lambda tal que: ( a_{1}, a_{2}, a_{3} ) = ( \lambda b_{1}, \lambda b_{2}, \lambda b_{3} ). Utilize esse critério para decidir se os vetores abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
a) u=(1,2,3) v=(4,5,6)
b) \mathrm{u}=(1,0,3) \mathrm{v}=(-2,0,-6)
c) u=(1,2,5) v=(12,1,5)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que dois vetores não nulos
u=(a_{1},a_{2},a_{3}),\quad v=(b_{1},b_{2},b_{3})
são linearmente dependentes se, e somente se, existe \lambda tal que
(a_{1},a_{2},a_{3})=(\lambda b_{1},\lambda b_{2},\lambda b_{3})\,.
Em seguida, usar esse critério para decidir dependência ou independência linear dos pares dados.

Passo 2

Definição de dependência linear em \mathbb{R}^3: u e v são linearmente dependentes se existem escalares \alpha,\beta, não ambos zero, tais que
\alpha\,u + \beta\,v = 0.
Como u e v são não nulos, pelo menos um dos coeficientes \alpha ou \beta é diferente de zero.

Passo 3

Prova da equivalência:
  1. Se u e v são dependentes, existem \alpha,\beta, não simultaneamente zero, com
    \alpha\,u+\beta\,v=0.
  • Se \alpha\neq0, isolamos
u = -\frac{\beta}{\alpha}\,v,
logo escolhemos \lambda=-\tfrac{\beta}{\alpha}.
  • Se \beta\neq0, isolamos
v = -\frac{\alpha}{\beta}\,u,
também definindo \lambda.
  1. Se existe \lambda tal que u=\lambda v, então
    \,u - \lambda v=0
    é combinação linear não trivial, logo u e v são dependentes.

Passo 4

Aplicando o critério “ u é múltiplo escalar de v” aos pares:
(a) u=(1,2,3), v=(4,5,6). Supondo
(1,2,3)=\lambda\,(4,5,6)
temos
1=4\lambda,\quad 2=5\lambda,\quad 3=6\lambda,
ou seja \lambda=\tfrac14, \lambda=\tfrac25, \lambda=\tfrac36. Essas três frações não coincidem, logo não há \lambda único. Portanto são linearmente independentes.
(b) u=(1,0,3), v=(-2,0,-6). Supondo
(1,0,3)=\lambda\,(-2,0,-6)
temos
1=-2\lambda,\quad 0=0\lambda,\quad 3=-6\lambda.
Da primeira e da terceira equações surge \lambda=-\tfrac12, e a segunda 0=0 é sempre satisfeita. Logo u=-\tfrac12\,v e são linearmente dependentes.
(c) u=(1,2,5), v=(12,1,5). Supondo
(1,2,5)=\lambda\,(12,1,5)
temos
1=12\lambda,\quad 2=\lambda,\quad 5=5\lambda,
ou seja \lambda=\tfrac1{12}, \lambda=2, \lambda=1. Novamente não há um único \lambda que sirva para todas as componentes. Logo são linearmente independentes.

Passo 5

W e resumo: critério de múltiplo escalar e verificação de igualdade dos três quocientes de componentes decide a dependência ou independência dos pares.

Resposta

(a) linearmente independentes
(b) linearmente dependentes
(c) linearmente independentes

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