Mostre que dois vetores não nulos
:
e
:
são linearmente dependentes se e somente se existe
tal que: (
) = (
). Utilize esse critério para decidir se os vetores abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que dois vetores não nulos
são linearmente dependentes se, e somente se, existe
tal que
Em seguida, usar esse critério para decidir dependência ou independência linear dos pares dados.
Passo 2
Definição de dependência linear em
:
e
são linearmente dependentes se existem escalares
, não ambos zero, tais que
Como
e
são não nulos, pelo menos um dos coeficientes
ou
é diferente de zero.
Passo 3
Prova da equivalência:
- Se
e são dependentes, existem , não simultaneamente zero, com
.
- Se
, isolamos
logo escolhemos
.
- Se
, isolamos
também definindo
.
- Se existe
tal que , então
é combinação linear não trivial, logoe são dependentes.
Passo 4
Aplicando o critério “
é múltiplo escalar de
” aos pares:
(a)
,
. Supondo
temos
ou seja
,
,
. Essas três frações não coincidem, logo não há
único. Portanto são linearmente independentes.
(b)
,
. Supondo
temos
Da primeira e da terceira equações surge
, e a segunda
é sempre satisfeita. Logo
e são linearmente dependentes.
(c)
,
. Supondo
temos
ou seja
,
,
. Novamente não há um único
que sirva para todas as componentes. Logo são linearmente independentes.
Passo 5
W e resumo: critério de múltiplo escalar e verificação de igualdade dos três quocientes de componentes decide a dependência ou independência dos pares.
Resposta
(a) linearmente independentes
(b) linearmente dependentes
(c) linearmente independentes
(b) linearmente dependentes
(c) linearmente independentes