Prove que:
\operatorname{Proj}_{\mathrm{u}} \lambda \mathrm{v}=\lambda \operatorname{Proj}_{\mathrm{u}} \mathrm{v}

Passo 1

O enunciado quer mostrar que a projeção de \lambda v sobre u é igual a \lambda vezes a projeção de v sobre u. Isso é um resultado do fato de que a projeção é linear no segundo argumento. Para resolver, vamos usar a definição algébrica de projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

A definição da projeção de v sobre u (com u\neq0) é
\operatorname{Proj}_{u}v = \frac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u.

Passo 3

Agora calculamos a projeção de \lambda v sobre u usando a mesma fórmula:
\operatorname{Proj}_{u}(\lambda v) = \frac{(\lambda v)\cdot u}{u\cdot u}\,u.
Como o produto escalar é bilinear, temos
(\lambda v)\cdot u = \lambda\,(v\cdot u).
Portanto
\operatorname{Proj}_{u}(\lambda v) = \frac{\lambda\,(v\cdot u)}{u\cdot u}\,u = \lambda\;\frac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u.

Passo 4

Reconhecendo o fator \displaystyle\frac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u como \operatorname{Proj}_{u}v, concluímos
\operatorname{Proj}_{u}(\lambda v) = \lambda\,\operatorname{Proj}_{u}v.

Resposta

\operatorname{Proj}_{u}(\lambda v) = \lambda\,\operatorname{Proj}_{u}v.

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