Mostre que as EDOs abaixo não admitem solução real (em nenhum intervalo):
x^{2} \sqrt{y}+1=-\left(y^{\prime}\right)^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}\sqrt{y}+1 = -\left(y'\right)^{2}
e pede para mostrar que ela não admite solução real em nenhum intervalo. As informações relevantes que temos são: a função incógnita é y(x) de valores reais (queremos solução real), o termo \sqrt{y} aparece (logo, para que essa raiz seja real devemos ter y(x)\ge 0 quando a equação for exigida), e \left(y'\right)^{2} é o quadrado da derivada, que é sempre não negativo para derivadas reais.

Passo 2

Explico por que devemos ter y(x)\ge 0. A função \sqrt{\cdot} está sendo usada no sentido real. Pela definição da raiz quadrada real, \sqrt{t} é real somente se t\ge 0. Portanto, para que a equação faça sentido como igualdade entre números reais em qualquer ponto do intervalo, é necessário que
y(x)\ge 0\quad\text{para todo }x\text{ no intervalo considerado.}
Se em algum ponto do intervalo y(x)<0, então \sqrt{y(x)} não é real e, assim, não existe solução real passando por esse ponto.

Passo 3

Mostro que o membro esquerdo da equação é sempre maior ou igual a 1 (quando \sqrt{y} é real). Como x^{2}\ge 0 para todo x real e, pelo passo anterior, \sqrt{y}\ge 0, o produto x^{2}\sqrt{y} satisfaz
x^{2}\sqrt{y}\ge 0.
Somando 1 aos dois lados dessa desigualdade obtemos
x^{2}\sqrt{y}+1 \ge 1.
Portanto o membro esquerdo da equação nunca é menor que 1; em particular, ele é sempre estritamente positivo.

Passo 4

Analisemos o membro direito. Para qualquer função real y(x) com derivada real, temos \left(y'\right)^{2}\ge 0. Como aparece um sinal negativo em frente desse quadrado, conclui-se que
-\left(y'\right)^{2} \le 0,
isto é, o membro direito é sempre menor ou igual a 0. A igualdade -\left(y'\right)^{2}=0 ocorre apenas quando y'=0.

Passo 5

Agora juntamos as duas observações: o membro esquerdo satisfaz x^{2}\sqrt{y}+1\ge 1 e o membro direito satisfaz -\left(y'\right)^{2}\le 0. Logo, para qualquer x do intervalo tem-se
x^{2}\sqrt{y}+1 \ge 1 > 0 \quad\text{e}\quad -\left(y'\right)^{2}\le 0.
Assim, é impossível que
x^{2}\sqrt{y}+1 = -\left(y'\right)^{2}
em qualquer ponto, porque um lado da igualdade é sempre pelo menos 1 e o outro é sempre menor ou igual a 0. Nem mesmo a tentativa de achar uma solução constante funciona: se y\equiv 0 então o lado esquerdo vale 1 e o direito vale 0, não se igualam. Portanto não existe função real y definida em um intervalo não vazio que satisfaça a equação.

Passo 6

Resumo do argumento em uma frase curta: o lado esquerdo é sempre \ge 1 (pois x^{2}\sqrt{y}\ge 0), enquanto o lado direito é sempre \le 0 (pois é menos um quadrado), logo não podem ser iguais em nenhum ponto — portanto não há solução real em nenhum intervalo.

Resposta

Não existe solução real em nenhum intervalo.

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