Mostre que as EDOs abaixo não admitem solução real (em nenhum intervalo):
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para mostrar que ela não admite solução real em nenhum intervalo. As informações relevantes que temos são: a função incógnita é
de valores reais (queremos solução real), o termo
aparece (logo, para que essa raiz seja real devemos ter
quando a equação for exigida), e
é o quadrado da derivada, que é sempre não negativo para derivadas reais.
Passo 2
Explico por que devemos ter
. A função
está sendo usada no sentido real. Pela definição da raiz quadrada real,
é real somente se
. Portanto, para que a equação faça sentido como igualdade entre números reais em qualquer ponto do intervalo, é necessário que
Se em algum ponto do intervalo
, então
não é real e, assim, não existe solução real passando por esse ponto.
Passo 3
Mostro que o membro esquerdo da equação é sempre maior ou igual a
(quando
é real). Como
para todo
real e, pelo passo anterior,
, o produto
satisfaz
Somando
aos dois lados dessa desigualdade obtemos
Portanto o membro esquerdo da equação nunca é menor que
; em particular, ele é sempre estritamente positivo.
Passo 4
Analisemos o membro direito. Para qualquer função real
com derivada real, temos
. Como aparece um sinal negativo em frente desse quadrado, conclui-se que
isto é, o membro direito é sempre menor ou igual a
. A igualdade
ocorre apenas quando
.
Passo 5
Agora juntamos as duas observações: o membro esquerdo satisfaz
e o membro direito satisfaz
. Logo, para qualquer
do intervalo tem-se
Assim, é impossível que
em qualquer ponto, porque um lado da igualdade é sempre pelo menos
e o outro é sempre menor ou igual a
. Nem mesmo a tentativa de achar uma solução constante funciona: se
então o lado esquerdo vale
e o direito vale
, não se igualam. Portanto não existe função real
definida em um intervalo não vazio que satisfaça a equação.
Passo 6
Resumo do argumento em uma frase curta: o lado esquerdo é sempre
(pois
), enquanto o lado direito é sempre
(pois é menos um quadrado), logo não podem ser iguais em nenhum ponto — portanto não há solução real em nenhum intervalo.
Resposta
Não existe solução real em nenhum intervalo.