Mostre que as EDOs abaixo não admitem solução real (em nenhum intervalo):
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
não admite solução real em nenhum intervalo.
Informações dadas: a equação relaciona o quadrado da derivada com o quadrado da função
. O objetivo é provar que não existe função
diferenciável em um intervalo
que satisfaça essa igualdade em todos os pontos de
.
Informações dadas: a equação relaciona o quadrado da derivada
Passo 2
Reescrevemos a equação isolando
. Subtraindo
de ambos os lados e somando
obtemos
Passo 3
Lição rápida: uma propriedade básica dos números reais é que o quadrado de qualquer número real é não negativo. Ou seja, para todo
vale
e
só se
. Aplicando isso a
para qualquer
em que a derivada exista, temos
Isto é um fato elemental (se
for real, seu quadrado não pode ser negativo).
Passo 4
Agora examine o lado direito da igualdade que encontramos em \[y(x)^{2}+2 \ge 2.]
Multiplicando por
segue que
Portanto o lado direito
é estritamente negativo para todo valor real de
.
Passo 5
Comparando os dois lados: o lado esquerdo
é sempre
(vide o passo anterior), enquanto o lado direito
é sempre
.
Passo 6
Conclusão lógica: não existe função real diferenciável
definida em nenhum intervalo
que satisfaça
em todos os pontos de
. A equação é impossível ponto a ponto para valores reais, então não admite solução real em nenhum intervalo.
Resposta
Não existe solução real em nenhum intervalo.