Mostre que as EDOs abaixo não admitem solução real (em nenhum intervalo):
6+\left(y^{\prime}\right)^{2}=-y^{2}+4;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
6+\left(y^{\prime}\right)^{2}=-y^{2}+4
não admite solução real em nenhum intervalo.
Informações dadas: a equação relaciona o quadrado da derivada \left(y'\right)^{2} com o quadrado da função y^{2}. O objetivo é provar que não existe função y\colon I\to\mathbb{R} diferenciável em um intervalo I que satisfaça essa igualdade em todos os pontos de I.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando \left(y'\right)^{2}. Subtraindo 6 de ambos os lados e somando y^{2} obtemos
\left(y'\right)^{2} = -y^{2} + 4 - 6 = -y^{2} - 2.

Passo 3

Lição rápida: uma propriedade básica dos números reais é que o quadrado de qualquer número real é não negativo. Ou seja, para todo r\in\mathbb{R} vale
r^{2}\ge 0,
e r^{2}=0 só se r=0. Aplicando isso a y'(x) para qualquer x em que a derivada exista, temos
\left(y'(x)\right)^{2}\ge 0.
Isto é um fato elemental (se y'(x) for real, seu quadrado não pode ser negativo).

Passo 4

Agora examine o lado direito da igualdade que encontramos em \[y(x)^{2}+2 \ge 2.]
Multiplicando por -1 segue que
-y(x)^{2}-2 \le -2 < 0.
Portanto o lado direito -y^{2}-2 é estritamente negativo para todo valor real de y.

Passo 5

Comparando os dois lados: o lado esquerdo \left(y'\right)^{2} é sempre \ge 0 (vide o passo anterior), enquanto o lado direito -y^{2}-2 é sempre <0.

Passo 6

Conclusão lógica: não existe função real diferenciável y definida em nenhum intervalo I que satisfaça \;6+(y')^{2}=-y^{2}+4 em todos os pontos de I. A equação é impossível ponto a ponto para valores reais, então não admite solução real em nenhum intervalo.

Resposta

Não existe solução real em nenhum intervalo.

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