Mostre como encontrar a integral das funções abaixo
f(x)=2 x^3+3 x^2+40 x de x=0 até x=10

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de
f(x)=2x^3+3x^2+40x no intervalo de x=0 até x=10. O conteúdo aqui é integral de polinômio, e vamos usar duas ideias principais: a regra de potência para obter a antiderivada e o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida.

Passo 2

Para integrar um polinômio termo a termo, aplicamos a regra de potência: se f(x)=x^n, então a antiderivada F(x)=tfracx^n+1n+1+C. Assim, integramos cada termo de f(x):
integral 2x^3,dx = 2cdot x^44 = 12x^4,
integral 3x^2,dx = 3cdot x^33 = x^3,
integral 40x,dx = 40cdot x^22 = 20x^2

Passo 3

Somando as antiderivadas, obtemos uma primitiva F(x) de f(x):
F(x) = 12x^4 + x^3 + 20x^2

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida de f de 0 a 10 é F(10)-F(0). Calculando:
F(10) = tfrac12cdot10^4 + 10^3 + 20cdot10^2 = tfrac12cdot10000 + 1000 + 20cdot100 = 5000 + 1000 + 2000 = 8000,
F(0) = tfrac12cdot0^4 + 0^3 + 20cdot0^2 = 0

Resposta

8000

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