Encontre uma representação paramétrica e um vetor normal.
Plano 4 x-2 y+10 z=16

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar uma representação paramétrica e um vetor normal do plano dado por 4x - 2y + 10z = 16. O conteúdo aqui é geometria analítica de planos: sabemos que a forma geral Ax+By+Cz=D nos dá direto o vetor normal (A,B,C), e que uma representação paramétrica vem de escolher duas variáveis como parâmetros e resolver a terceira.

Passo 2

Para encontrar o vetor normal, lembramos que num plano Ax+By+Cz=D o vetor normal é simplesmente (A,B,C). Aqui A=4, B=-2 e C=10. Portanto
n=(4,-2,10)

Passo 3

Agora vamos montar a forma paramétrica. A ideia é deixar duas variáveis livres e escrever a terceira em função delas. Por exemplo, defina
y=s, z=t(s,tin R)
Substituindo na equação do plano temos
4x - 2s + 10t = 16
Logo
x = 16 + 2s -10t4 = 4 + tfrac12s - tfrac52t

Passo 4

Com isso, podemos escrever a forma vetorial paramétrica. O ponto que obtemos ao pôr s=0,t=0 é (4,0,0), e os vetores-direção vêm dos coeficientes de s e t. Então:
xyz=400+stfrac1210+t-tfrac5201, s,tin R

Resposta

Representação paramétrica:
xyz=400+stfrac1210+t-tfrac5201, s,tin R
Vetor normal: n=(4,-2,10).

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