Mostre como encontrar a transformada de Laplace cos (t) de

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar a transformada de Laplace de f(t)=cos(t). O conteúdo é transformada de Laplace e vamos usar a definição Lf(t)(s)=integral0^infty f(t)e^-st,dt, que converge para Re(s)>0.

Passo 2

Aplicando a definição em f(t)=cos(t), definimos
I=integral0^infty e^-stcos(t),dt
Nosso objetivo é calcular I.

Passo 3

Para obter I, usamos integração por partes. Escolhendo
u=cos(t), dv=e^-st,dt, du=-sin(t),dt, v=-1se^-st,
temos
I=uv|0^infty-integral0^infty v,du =[-cos(t)se^-st]0^infty-integral0^inftyl(-1se^-str)(-sin(t)),dt
Como e^-stcos(t)to0 em ttoinfty e em t=0 temos cos(0)=1, obtemos
I=1s-1sintegral0^infty e^-stsin(t),dt
Chamando
J=integral0^infty e^-stsin(t),dt,
fica
I=1s-1sJ

Passo 4

Agora calculamos J por partes, com
u=sin(t), dv=e^-st,dt, du=cos(t),dt, v=-1se^-st
Seguindo o mesmo raciocínio, o termo de fronteira some e surge
J=1sI

Passo 5

Substituindo J=I/s em I=1/s-(1/s)J e resolvendo, temos
I=1s-1scdotIs=1s-Is^2 Rightarrow Il(1+1s^2r)=1s Rightarrow I=ss^2+1
Logo a transformada de Laplace de cos(t) é dada por F(s)=I.

Passo 6

Concluindo, para Re(s)>0 vale
Lcos(t)(s)=ss^2+1

Resposta

ss^2+1

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