Mostre como encontrar a transformada de Laplace de
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos achar a transformada de Laplace de f(t)=cos(t). O conteúdo é transformada de Laplace e vamos usar a definição , que converge para .
Passo 2
Aplicando a definição em f(t)=cos(t), definimos
Nosso objetivo é calcular I.
Passo 3
Para obter I, usamos integração por partes. Escolhendo
temos
Como e^-stcos(t)to0 em ttoinfty e em t=0 temos cos(0)=1, obtemos
I=1s-1sintegral0^infty e^-stsin(t),dt
Chamando
J=integral0^infty e^-stsin(t),dt,
fica
I=1s-1sJ
Passo 4
Agora calculamos J por partes, com
u=sin(t), dv=e^-st,dt, du=cos(t),dt, v=-1se^-st
Seguindo o mesmo raciocínio, o termo de fronteira some e surge
J=1sI
Passo 5
Substituindo J=I/s em I=1/s-(1/s)J e resolvendo, temos