Mostre que a energia do átomo de hidrogênio depende apenas do número quântico principal n. Explique o conceito de degenerescência associado a esse fato.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que a energia do átomo de hidrogênio depende apenas do número quântico principal n.
  • Explicar o conceito de degenerescência associado a esse fato.
Informações relevantes que são dadas/implicadas pelo enunciado:
  • Trata-se do átomo de hidrogênio isolado, elétron ligado a um próton por força eletrostática (potencial coulombiano).
  • Vamos trabalhar na descrição não-relativística usando a equação de Schrödinger independente do tempo.
  • Os parâmetros físicos presentes: massa do elétron m, carga do elétron -e (módulo e), constante dielétrica \varepsilon_0 e constante de Planck reduzida \hbar.
  • Precisamos obter os autovalores de energia ligados ( E<0) e mostrar que esses autovalores dependem apenas de um inteiro n (o número quântico principal), independente dos outros números quânticos angulares l e m.

Passo 2

Escrever a equação de Schrödinger para o elétron no potencial coulombiano. A hamiltoniana é a soma da energia cinética e do potencial:
\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}.
A equação de Schrödinger estacionária é
\hat{H}\psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r}).
Isso significa explicitamente
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r}) -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}\psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r}).
Repare que o potencial depende só de r (é central), então faz sentido usar coordenadas esféricas e separar variáveis.

Passo 3

Separação de variáveis em coordenadas esféricas. Escrevemos
\psi(r,\theta,\varphi) = R(r)\,Y_{l}^{m}(\theta,\varphi),
onde Y_{l}^{m} são os harmônicos esféricos (autofunções do operador angular) e R(r) é a parte radial. Ao inserir essa forma na equação e separar, obtemos duas equações: uma angular e uma radial. A parte angular leva aos autovalores bem conhecidos
\hat{L}^2 Y_{l}^{m} = \hbar^2 l(l+1) Y_{l}^{m},
com l=0,1,2,\dots e m=-l,\dots,l. Não precisamos derivar os harmônicos esféricos aqui, apenas usar que eles descrevem a dependência angular e introduzem o termo \ell(\ell+1).

Passo 4

Equação radial e transformação para forma conveniente. A equação radial para R(r) fica
-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\Big(r^2\frac{dR}{dr}\Big) - \frac{l(l+1)}{r^2}R\right) -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}R = E R.
É comum definir a função u(r)=rR(r). Substituindo e simplificando obtemos uma equação tipo 1D para u(r):
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 u}{dr^2} + \left[\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2} -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}\right]u = E u.
Aqui o termo \dfrac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2} age como uma barreira centrífuga efetiva, e o potencial total eficaz é função de r apenas.

Passo 5

Análise qualitativa das soluções vinculadas (bound states). Para estados ligados temos E<0. Introduzimos uma escala de comprimento conveniente definindo
\kappa \equiv \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}\quad(\text{assim }\kappa>0), \qquad \rho\equiv \kappa r.
Com essa mudança a equação fica (após dividir por constantes apropriadas)
\frac{d^2 u}{d\rho^2} = \left[1 - \frac{\rho_0}{\rho} + \frac{l(l+1)}{\rho^2}\right]u,
onde \rho_0 é uma constante proporcional à carga e massa. Em vez de derivar cada fator numérico, a ideia importante é estudar o comportamento para \rho\to0 e \rho\to\infty:
  • Para \rho\to\infty a equação aproxima-se de u'' \approx u, então para normalização escolhemos a solução que decai exponencialmente: u(\rho)\sim e^{-\rho}.
  • Para \rho\to0 o termo dominante é \dfrac{l(l+1)}{\rho^2}, o que dá u(\rho)\sim\rho^{l+1} (a outra solução \rho^{-l} não é regular em r=0).
Esses comportamentos motivam a escrever
u(\rho) = \rho^{l+1} e^{-\rho} v(\rho),
onde v(\rho) é uma função que deve ser bem comportada (regular) e analítica em \rho\ge0.

Passo 6

Solução por série e condição de quantização. Inserindo u(\rho)=\rho^{l+1} e^{-\rho} v(\rho) e supondo uma série de potências
v(\rho) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \rho^k,
obtemos uma relação de recorrência entre os coeficientes a_k. Essa recorrência, para que a solução seja normalizável (isto é, não exploda como e^{+\rho} para grandes \rho), exige que a série para v(\rho) seja um polinômio: a série deve terminar em algum k=n_r. Essa condição de terminação é o que gera a quantização da energia. O inteiro que aparece na terminação é chamado de número quântico radial n_r=0,1,2,\dots.
Quando a série termina, v(\rho) é proporcional a um polinômio associado de Laguerre (os chamados polinômios de Laguerre associados), e a solução radial aceita forma regular e normalizável.

Passo 7

Relação entre os números quânticos e expressão da energia. A condição de terminação da série dá a relação entre \kappa (portanto E) e os inteiros que aparecem. Define-se o número quântico principal
n = n_r + l + 1,
com n=1,2,3,\dots. A quantização encontrada leva à expressão de \kappa
\kappa = \frac{m e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}\frac{1}{n}.
Como E = -\dfrac{\hbar^2 \kappa^2}{2m} (porque \kappa=\sqrt{-2mE}/\hbar), substituindo obtemos o famoso resultado
E_n = -\frac{m e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2}\,\frac{1}{n^2}.
Note que nessa expressão a energia depende somente de n, não aparece l nem m. Isso é exatamente o que o enunciado pedia para mostrar: os autovalores de energia ligados do hidrogênio são funções apenas de n.

Passo 8

Interpretação física e contagem de estados — degenerescência. Agora que sabemos que E depende apenas de n, vejamos quantos estados independentes têm a mesma energia para um dado n. Para cada n permitido temos todas as combinações de l e m tais que
l = 0,1,\dots,n-1, \qquad m = -l,-l+1,\dots,l.
Para um dado l há exatamente 2l+1 valores possíveis de m. Então o número total de estados com energia E_n (ignorando o spin do elétron) é
g_n = \sum_{l=0}^{n-1} (2l+1).
Calcule a soma:
\sum_{l=0}^{n-1} (2l+1) = 2\sum_{l=0}^{n-1} l + \sum_{l=0}^{n-1} 1 = 2\cdot\frac{(n-1)n}{2} + n = n^2.
Portanto, para cada n existem n^2 estados ortonormais distintos (com diferentes (l,m)) que têm a mesma energia E_n. Se incluirmos o spin do elétron (duas projeções possíveis), cada nível fica com degenerescência 2n^2.

Passo 9

Significado de degenerescência e comentários finais. Degenerescência significa que há mais de uma função de onda (estado físico) linearmente independente correspondendo ao mesmo autovalor de energia. Isso tem implicações práticas: observáveis que comutam com o Hamiltoniano podem ser simultaneamente diagonalizados, mas se um observável não comuta com \hat{H} a degenerescência pode ser removida por pequenas perturbações (por exemplo um campo magnético — efeito Zeeman — ou efeito spin-órbita), o que separa (quebra) as energias anteriormente degeneradas.
No caso do hidrogênio, a degenerescência completa em l além da degenerescência em m é maior do que a degenerescência esperada apenas da simetria de rotação (que garantiria degenerescência em m para fixo l). Essa degenerescência “extra” é chamada de degenerescência acidental e está ligada à presença de uma simetria escondida (relacionada ao vetor de Runge–Lenz), que eleva a simetria efetiva do problema a SO(4) para estados ligados. Por isso E depende só de n, e não de l.

Resposta

E_n = -\dfrac{m e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2}\dfrac{1}{n^2}.
A degenerescência (número de estados com mesma energia E_n) é g_n = n^2 (ou 2n^2 se incluir o spin do elétron).

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