Mostre que a energia do átomo de hidrogênio depende apenas do número quântico principal
. Explique o conceito de degenerescência associado a esse fato.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que a energia do átomo de hidrogênio depende apenas do número quântico principal
. - Explicar o conceito de degenerescência associado a esse fato.
Informações relevantes que são dadas/implicadas pelo enunciado:
- Trata-se do átomo de hidrogênio isolado, elétron ligado a um próton por força eletrostática (potencial coulombiano).
- Vamos trabalhar na descrição não-relativística usando a equação de Schrödinger independente do tempo.
- Os parâmetros físicos presentes: massa do elétron
, carga do elétron (módulo ), constante dielétrica e constante de Planck reduzida . - Precisamos obter os autovalores de energia ligados (
) e mostrar que esses autovalores dependem apenas de um inteiro (o número quântico principal), independente dos outros números quânticos angulares e .
Passo 2
Escrever a equação de Schrödinger para o elétron no potencial coulombiano. A hamiltoniana é a soma da energia cinética e do potencial:
A equação de Schrödinger estacionária é
Isso significa explicitamente
Repare que o potencial depende só de
(é central), então faz sentido usar coordenadas esféricas e separar variáveis.
Passo 3
Separação de variáveis em coordenadas esféricas. Escrevemos
onde
são os harmônicos esféricos (autofunções do operador angular) e
é a parte radial. Ao inserir essa forma na equação e separar, obtemos duas equações: uma angular e uma radial. A parte angular leva aos autovalores bem conhecidos
com
e
. Não precisamos derivar os harmônicos esféricos aqui, apenas usar que eles descrevem a dependência angular e introduzem o termo
.
Passo 4
Equação radial e transformação para forma conveniente. A equação radial para
fica
É comum definir a função
. Substituindo e simplificando obtemos uma equação tipo 1D para
:
Aqui o termo
age como uma barreira centrífuga efetiva, e o potencial total eficaz é função de
apenas.
Passo 5
Análise qualitativa das soluções vinculadas (bound states). Para estados ligados temos
. Introduzimos uma escala de comprimento conveniente definindo
Com essa mudança a equação fica (após dividir por constantes apropriadas)
onde
é uma constante proporcional à carga e massa. Em vez de derivar cada fator numérico, a ideia importante é estudar o comportamento para
e
:
- Para
a equação aproxima-se de , então para normalização escolhemos a solução que decai exponencialmente: . - Para
o termo dominante é , o que dá (a outra solução não é regular em ).
Esses comportamentos motivam a escrever
onde
é uma função que deve ser bem comportada (regular) e analítica em
.
Passo 6
Solução por série e condição de quantização. Inserindo
e supondo uma série de potências
obtemos uma relação de recorrência entre os coeficientes
. Essa recorrência, para que a solução seja normalizável (isto é, não exploda como
para grandes
), exige que a série para
seja um polinômio: a série deve terminar em algum
. Essa condição de terminação é o que gera a quantização da energia. O inteiro que aparece na terminação é chamado de número quântico radial
.
Quando a série termina,
é proporcional a um polinômio associado de Laguerre (os chamados polinômios de Laguerre associados), e a solução radial aceita forma regular e normalizável.
Passo 7
Relação entre os números quânticos e expressão da energia. A condição de terminação da série dá a relação entre
(portanto
) e os inteiros que aparecem. Define-se o número quântico principal
com
. A quantização encontrada leva à expressão de
Como
(porque
), substituindo obtemos o famoso resultado
Note que nessa expressão a energia depende somente de
, não aparece
nem
. Isso é exatamente o que o enunciado pedia para mostrar: os autovalores de energia ligados do hidrogênio são funções apenas de
.
Passo 8
Interpretação física e contagem de estados — degenerescência. Agora que sabemos que
depende apenas de
, vejamos quantos estados independentes têm a mesma energia para um dado
. Para cada
permitido temos todas as combinações de
e
tais que
Para um dado
há exatamente
valores possíveis de
. Então o número total de estados com energia
(ignorando o spin do elétron) é
Calcule a soma:
Portanto, para cada
existem
estados ortonormais distintos (com diferentes
) que têm a mesma energia
. Se incluirmos o spin do elétron (duas projeções possíveis), cada nível fica com degenerescência
.
Passo 9
Significado de degenerescência e comentários finais. Degenerescência significa que há mais de uma função de onda (estado físico) linearmente independente correspondendo ao mesmo autovalor de energia. Isso tem implicações práticas: observáveis que comutam com o Hamiltoniano podem ser simultaneamente diagonalizados, mas se um observável não comuta com
a degenerescência pode ser removida por pequenas perturbações (por exemplo um campo magnético — efeito Zeeman — ou efeito spin-órbita), o que separa (quebra) as energias anteriormente degeneradas.
No caso do hidrogênio, a degenerescência completa em
além da degenerescência em
é maior do que a degenerescência esperada apenas da simetria de rotação (que garantiria degenerescência em
para fixo
). Essa degenerescência “extra” é chamada de degenerescência acidental e está ligada à presença de uma simetria escondida (relacionada ao vetor de Runge–Lenz), que eleva a simetria efetiva do problema a
para estados ligados. Por isso
depende só de
, e não de
.
Resposta
A degenerescência (número de estados com mesma energia