Explique por que o potencial coulombiano do átomo de hidrogênio
possui simetria esférica. Mostre como essa simetria motiva o uso de coordenadas esféricas na equação de Schrödinger.
Passo 1
O enunciado dá o potencial de Coulomb do átomo de hidrogênio
e pede duas coisas claras:
- Mostrar por que esse potencial possui simetria esférica (ou seja, é invariante por rotações).
- Mostrar como essa simetria motiva o uso de coordenadas esféricas na equação de Schrödinger.
Informações e notação que vamos usar (tudo fornecido ou padrão):
-
é a carga elementar, a permissividade do vácuo. -
é o vetor posição e é a sua norma. - A equação de Schrödinger estacionária é
A partir daqui vamos demonstrar passo a passo a invariância por rotação e explicar por que coordenadas esféricas e separação radiais/angulares são naturais.
Passo 2
O que significa “simetria esférica”?\n
Uma função escalar tem simetria esférica quando seu valor depende somente da distância ao origem, isto é, existe uma função univariada
tal que
Uma função escalar
Isso implica invariância por rotações: se
é uma matriz ortogonal (rotaçao), então
e assim
No nosso caso o potencial é exatamente dessa forma com
. Portanto
depende apenas de
e é invariante por qualquer rotação: para todo
ortogonal
Passo 3
Consequência operatorial: commutadores com geradores de rotação.\n
No espaço de funções de a ação de uma rotação
é dada por um operador unitário
com
No espaço de funções de
A invariância
pode ser escrita como operador como
onde
é o operador multiplicativo
. Para rotações infinitesimais, isso implica que
comuta com os geradores de rotação
(operador momento angular):
Além disso, o termo cinético
é também invariante por rotações (o laplaciano é escalar). Assim o Hamiltoniano
satisfaz
onde
é o quadrado do momento angular. Consequência física: pode-se escolher autostados simultâneos de
,
e
(rotational symmetry permite rotular estados por
).
Passo 4
Por que coordenadas esféricas? relação com o laplaciano.\n
Quando a potencial depende só de , faz sentido usar coordenadas que separem precisamente
das direções angulares. O laplaciano em coordenadas esféricas
tem a forma
Quando a potencial depende só de
É conveniente relacionar a parte angular com o operador momento angular. Define-se
Substituindo na expressão do laplaciano obtemos a identidade útil
Aqui:
-
envolve apenas derivadas angulares , - o termo radial
envolve apenas .
Essa separação mostra algebraicamente por que coordenadas esféricas são a escolha natural: o operador diferencial se separa em parte radial + parte angular multiplicada por
.
Passo 5
Separação de variáveis na equação de Schrödinger.\n
Começamos da equação estacionária
Começamos da equação estacionária
Usando a forma do laplaciano em termos de
e o fato de
, substituímos e obtemos
Reescrevendo:
Assume a separação
. Dividindo por
e multiplicando por
chega-se a
Como o primeiro e o segundo termos dependem só de
e o terceiro termo só de
, cada lado deve ser igual a uma constante de separação que chamamos
. Isso produz duas equações separadas:
Equação angular (autovalores do momento angular):
cuja solução regular são as harmônicas esféricas
com
e
.
Equação radial:
O termo
é o termo centrífugo efetivo, que aparece porque parte da energia cinética está associada ao movimento angular.
Passo 6
Simplificação prática do radial e resolução.\n
É comum usar a substituição . Com isso a equação radial fica na forma de uma equação unidimensional para
:
É comum usar a substituição
Essa forma é muito mais simples para resolver analiticamente ou numericamente. No caso concreto do potencial de Coulomb
a resolução leva às funções de Laguerre e aos níveis discretos de energia do átomo de hidrogênio, mas o ponto essencial aqui é estrutural: a simetria esférica permitiu reduzir a PDE 3D a uma ODE unidimensional (para cada
) e uma equação angular conhecida.
Passo 7
Resumo das razões e consequências físicas (tom de amigo e incentivo).\n
- Porque
depende só de , ele é invariante por qualquer rotação: . Isso é exatamente a definição de simetria esférica.\n - Em linguagem de operadores isso implica
e, como o termo cinético também é rotacionalmente invariante, . Logo podemos escolher estados com rótulos .\n - Matematicamente a simetria faz com que o laplaciano separe em uma parte radial e uma parte angular (associada a
). Assim coordenadas esféricas e a separação são a escolha natural: transformam a PDE em uma equação angular (solvida pelas harmônicas esféricas) e uma equação radial (uma ODE com potencial efetivo). Isso simplifica enormemente a resolução do problema do átomo de hidrogênio.
Força aí — com essa visão, ao ver um potencial que depende só de
já sabe: vai para coordenadas esféricas, separa ângulos e raio, e ganha uma enorme vantagem prática na prova.
Resposta
O potencial
depende apenas da distância
, logo é invariante sob rotações (
) — essa é a simetria esférica. Consequentemente
e pode-se procurar autostados comuns de
e
; algebraicamente o laplaciano em coordenadas esféricas separa em parte radial e parte angular e, com a ansatz
, a equação de Schrödinger separa em a) a equação angular
(solução: harmônicas esféricas
) e b) a equação radial
mostrando que coordenadas esféricas são a escolha natural para explorar a simetria e reduzir a PDE 3D a ODEs tratáveis.