(a) Mostre que, se
, então
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, se uma matriz
é igual à sua inversa (
), então o determinante de
é igual a
. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de matrizes e determinantes na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades do determinante e da relação entre uma matriz e seu inverso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz inversa tem uma relação específica com o determinante da matriz original. A propriedade que utilizaremos é:
Isso significa que o determinante da inversa de
é igual a um sobre o determinante de
.
Passo 3
Agora, como está dado que
, podemos substituir
por
na equação do determinante:
Passo 4
Temos então a equação:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Ou seja,
Passo 5
Para encontrar o valor de
, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
Isso nos dá:
Resposta
Portanto, mostramos que se
, então o determinante de
é
.