Mostre que a equação do plano tangente ao paraboloide elíptico z/c = x^2/a^2 + y^2/b^2 no ponto (x0, y0, z0) pode ser escrita como 2*x*x0/a^2 + 2*y*y0/b^2 = (z + z0)/c * (2,0) pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a equação do plano tangente a um paraboloide elíptico dado por no ponto (x0, y0, z0) pode ser escrita como . Aqui, vamos precisar usar cálculo para encontrar derivadas parciais e entender como elas nos ajudam a encontrar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para qualquer superfície definida por uma função , a equação do plano tangente no ponto (x0, y0, z0) é dada por:
Aqui, fx e fy são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente.

Passo 3

No nosso caso, a equação do paraboloide é . Vamos reescrever isso para deixar z isolado:
Então, nossa função é .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
  • Derivada em relação a x:
  • Derivada em relação a y:

Passo 5

Agora, vamos avaliar as derivadas no ponto (x0, y0, z0):

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula do plano tangente:

Passo 7

Vamos simplificar a equação. Multiplicando os termos:

Passo 8

Observamos que, pelo ponto na superfície, . Substituindo isso:

Passo 9

Levantando o z0 para o outro lado:

Passo 10

Dividindo todos os termos por c para simplificar:
Ou rearranjando:

Resposta

Assim, mostramos que a equação do plano tangente ao paraboloide elíptico no ponto (x0, y0, z0) é:

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