Mostre que a equação 2 x^3 + 3 x^2 + 6 x + 1 = 0 tem exatamente uma raiz real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação tem exatamente uma raiz real. Isso envolve entender um pouco sobre polinômios e como eles se comportam. Para resolver, vamos precisar usar noções de cálculo, principalmente derivadas, para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma raiz real. Uma raiz real é um valor de que, quando substituído na equação, faz com que o resultado seja zero. No caso de polinômios de terceiro grau (cúbicos), como o que temos aqui, sabemos que sempre existe pelo menos uma raiz real, mas pode haver uma ou duas raízes adicionais que podem ser reais ou complexas.

Passo 3

Para descobrir quantas raízes reais existem, vamos analisar a função associada a essa equação:
Vamos observar o comportamento dessa função quando tende ao infinito positivo e negativo.

Passo 4

Quando tende a :
Quando tende a :
Isso nos mostra que a função vai de a , garantindo pelo menos uma raiz real devido à continuidade dos polinômios.

Passo 5

Agora, para determinar se há mais de uma raiz real, vamos analisar a derivada da função para ver se ela tem pontos de máximo ou mínimo (pontos onde a função muda de direção).
A derivada de é:
Podemos simplificar essa derivada:

Passo 6

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos :
Calculando o discriminante ( ) dessa equação quadrática:
Como o discriminante é negativo ( ), não há raízes reais para a derivada. Isso significa que a função não tem pontos de máximo ou mínimo reais e, portanto, é sempre crescente ou sempre decrescente.

Passo 7

Sabendo que a função é contínua e sempre crescente (já que o coeficiente de é positivo), ela cruzará o eixo exatamente uma vez. Não há lugares onde a função mude de direção para permitir mais de uma raiz real.

Resposta

A equação tem exatamente uma raiz real.

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