Mostre que a equação
tem duas e somente duas raízes, uma negativa e a outra positiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa mostrar que ela tem exatamente duas soluções: uma positiva e uma negativa. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função envolvida e usar alguns conceitos básicos de matemática, como continuidade e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que está na equação. Seja
. Nosso objetivo é descobrir onde essa função cruza o eixo
, ou seja, onde
.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de
quando
é positivo. À medida que
aumenta, o termo
cresce rapidamente e domina os outros termos. O termo
oscila, mas seu impacto é menor comparado a
. O termo
também oscila entre -1 e 1. Com isso, para valores grandes de
,
tende a ser positivo.
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece quando
é negativo. Novamente,
é sempre positivo,
vai depender do sinal de
, mas no geral, à medida que
se torna mais negativo,
ainda domina e
tende a ser positivo também.
Passo 5
Vamos verificar os valores de
perto de zero para ver se há mudanças de sinal, o que indicaria a existência de raízes.
-
Para
:
. -
Para um pequeno valor positivo, digamos
:
. -
Para
:
. -
Para
:
.
Vemos que
passa de negativo para positivo quando
aumenta de 1 para 2, indicando uma raiz positiva.
Fazendo uma análise similar para valores negativos:
-
Para
:
. -
Para
:
.
Percebemos que
é positivo para
e
, mas se formos para valores próximos a zero,
é negativo. Então, existe uma mudança de sinal na região negativa, indicando uma raiz negativa.
Resposta
Portanto, a equação
tem duas e somente duas raízes, sendo uma negativa e a outra positiva.