Mostre que a equação x^2 - x sen(x) - cos(x) = 0 tem duas e somente duas raízes, uma negativa e a outra positiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa mostrar que ela tem exatamente duas soluções: uma positiva e uma negativa. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função envolvida e usar alguns conceitos básicos de matemática, como continuidade e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que está na equação. Seja . Nosso objetivo é descobrir onde essa função cruza o eixo , ou seja, onde .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de quando é positivo. À medida que aumenta, o termo cresce rapidamente e domina os outros termos. O termo oscila, mas seu impacto é menor comparado a . O termo também oscila entre -1 e 1. Com isso, para valores grandes de , tende a ser positivo.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando é negativo. Novamente, é sempre positivo, vai depender do sinal de , mas no geral, à medida que se torna mais negativo, ainda domina e tende a ser positivo também.

Passo 5

Vamos verificar os valores de perto de zero para ver se há mudanças de sinal, o que indicaria a existência de raízes.
  • Para :
    .
  • Para um pequeno valor positivo, digamos :
    .
  • Para :
    .
  • Para :
    .
Vemos que passa de negativo para positivo quando aumenta de 1 para 2, indicando uma raiz positiva.
Fazendo uma análise similar para valores negativos:
  • Para :
    .
  • Para :
    .
Percebemos que é positivo para e , mas se formos para valores próximos a zero, é negativo. Então, existe uma mudança de sinal na região negativa, indicando uma raiz negativa.

Resposta

Portanto, a equação tem duas e somente duas raízes, sendo uma negativa e a outra positiva.

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