Determine as equações das retas tangentes e da normais às curvas, no pontos de abcissas dadas: f(x) = ln(x^2 + 1) ; x = 1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as equações das retas tangentes e normais à curva no ponto onde . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação das retas e, em seguida, aplicar a fórmula da equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de , ou seja, o valor da função no ponto onde .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de para obter a inclinação da reta tangente no ponto .
A derivada de é:

Passo 4

Calculamos :
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto é 1.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , usamos a fórmula da equação da reta:
Onde , , e .
Substituindo:
Essa é a equação da reta tangente.

Passo 6

Agora, para encontrar a equação da reta normal, que é perpendicular à tangente, a inclinação da normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente.
Como a inclinação da tangente é 1, a inclinação da normal será .

Passo 7

Usando novamente a fórmula da reta com , , e :
Essa é a equação da reta normal.

Resposta

As equações das retas são:
Reta Tangente:
Reta Normal:

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