Mostre que o espaçamento entre os níveis de energia adjacentes por unidade de energia para o oscilador harmônico quântico pode ser escrito como:
\frac{\Delta E_{n}}{E_{n}}=\frac{2}{2 n+1}
Faça uma breve análise deste resultado e mostre que ele está de acordo com o princípio da correspondência de Niels Bohr, que diz que os resultados quânticos são equivalentes aos resultados clássicos no limite de grandes números quânticos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para o oscilador harmônico quântico, o espaçamento entre níveis adjacentes dividido pela energia do nível n satisfaz
\frac{\Delta E_{n}}{E_{n}} = \frac{2}{2n+1},
e em seguida fazer uma breve análise relacionando esse resultado com o princípio da correspondência de Bohr, que exige que a teoria quântica reproduza a clássica quando n é grande.

Passo 2

O espectro de energias do oscilador harmônico quântico é dado pela fórmula bem conhecida
E_{n} = \Bigl(n + \tfrac12\Bigr)\,\hbar\omega,
onde n = 0,1,2,\dots, \hbar é a constante de Planck reduzida e \omega a frequência do oscilador.

Passo 3

O espaçamento entre dois níveis consecutivos é
\Delta E_{n} = E_{n+1} - E_{n} = \bigl[(n+1+\tfrac12) - (n+\tfrac12)\bigr]\hbar\omega = \hbar\omega.

Passo 4

Agora dividimos esse espaçamento pela energia E_{n}:
\frac{\Delta E_{n}}{E_{n}} = \frac{\hbar\omega}{(n+\tfrac12)\,\hbar\omega} = \frac{1}{n+\tfrac12} = \frac{2}{2n+1}.

Passo 5

Para n muito grande, temos
\frac{\Delta E_{n}}{E_{n}} = \frac{2}{2n+1} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; 0.
Isso significa que, em grandes números quânticos, os níveis de energia ficam tão próximos que o espectro se torna praticamente contínuo, exatamente como na descrição clássica do oscilador, onde não há quantização discreta. Assim, o resultado está de acordo com o princípio de correspondência de Bohr.

Resposta

\frac{\Delta E_{n}}{E_{n}} = \frac{2}{2n+1},
e para n\to\infty essa razão tende a zero, compatibilizando a teoria quântica com a descrição clássica.

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