Mostre que no espaço de Minkowski, a adoção de uma base “cartesiana” \left(\vec{e}_{\alpha}\right)^{\beta}=\delta_{\alpha}{ }^{\beta} implica que a assinatura da métrica para qualquer observador inercial é sempre \eta_{\mu \nu}= \operatorname{diag}(-1,1,1,1).

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, no espaço de Minkowski, se adotarmos uma base “cartesiana” cujas componentes satisfazem \left(\vec{e}_{\alpha}\right)^{\beta}=\delta_{\alpha}{}^{\beta}, então a matriz da métrica vista por qualquer observador inercial é sempre
\eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(-1,1,1,1).
Informações dadas e hipóteses relevantes:
  • Existe um espaço de Minkowski com uma forma bilinear simétrica não degenerada g(\cdot,\cdot) (a “métrica de Minkowski”).
  • Foi escolhida uma base (um tetrade) \{\vec e_{\alpha}\} cujas componentes são \left(\vec{e}_{\alpha}\right)^{\beta}=\delta_{\alpha}{}^{\beta}. Isto significa que estamos usando uma base ortonormal padrão (denotada “cartesiana” no enunciado).
  • A afirmação deve valer para qualquer observador inercial, ou seja, qualquer outro tetrade inercial relacionado à primeira por uma transformação de mudança de base apropriada.

Passo 2

Primeiro, definir claramente o que são as componentes da métrica numa base e o que significa “cartesiana”.
Definição de componentes da métrica: dadas as bases \{\vec e_{\alpha}\}, as componentes da métrica nessa base são
\eta_{\alpha\beta}:=g(\vec e_{\alpha},\vec e_{\beta}).
Aqui \alpha,\beta\in\{0,1,2,3\}. Essas componentes formam a matriz da métrica na base escolhida.
O que significa “base cartesiana” no enunciado: a condição \left(\vec{e}_{\alpha}\right)^{\beta}=\delta_{\alpha}{}^{\beta} indica que estamos escrevendo os vetores de base com componentes triviais (a base coincide com o sistema de coordenadas escolhidas); mais importante, a expressão habitual de “base cartesiana” em Minkowski refere-se a uma base ortonormal em que um vetor de tempo tem norma -1 e os vetores espaciais têm norma +1 e são mutuamente ortogonais. Em símbolos, desejamos as relações de ortonormalidade
g(\vec e_{0},\vec e_{0})=-1,\qquad g(\vec e_{i},\vec e_{j})=\delta_{ij},\qquad g(\vec e_{0},\vec e_{i})=0
para i,j\in\{1,2,3\}. Mostrar que essas igualdades levam a \eta_{\alpha\beta}=\operatorname{diag}(-1,1,1,1) é o objetivo imediato.

Passo 3

Construção intuitiva e normalização: por que podemos ter um vetor de tempo com norma -1 e três vetores espaciais com norma +1.
Explicação passo a passo:
  • Em Minkowski, vetores não nulos dividem-se em timelike (tempo), spacelike (espaço) e lightlike (nulos), segundo o sinal de g(v,v). Um observador inercial tem associado um vetor tempo próprio u que é timelike e pode ser normalizado para g(u,u)=-1 (escolha de unidade de tempo, “unidade natural”: velocidade da luz c=1).
  • Uma vez escolhido esse vetor tempo unitário \vec e_0:=u, o espaço ortogonal a u (o subespaço de vetores v com g(u,v)=0) é um espaço vetorial tridimensional com bilinearidade positiva definida (isto é, vetores nessa subespaço têm norma positiva), porque vetores ortogonais a um vetor timelike são spacelike.
  • Dentro desse subespaço espacial tridimensional podemos aplicar o processo de Gram–Schmidt (adaptado) para escolher três vetores mutuamente ortogonais v_1,v_2,v_3 e normalizá‑los de modo que g(v_i,v_j)=\delta_{ij}. Definimos \vec e_i:=v_i para i=1,2,3.
Comentário didático curto sobre Gram–Schmidt no contexto Lorentziano: o procedimento é análogo ao euclidiano, com atenção ao sinal da norma. Primeiro remove-se projeções na direção já escolhida, sempre verificando se o vetor resultante tem sinal esperado (no caso espacial, norma positiva), e normaliza‑se dividindo pela raiz quadrada da norma positiva.
Resultado do processo: obtemos uma tetrade \{\vec e_0,\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\} satisfazendo as relações de ortonormalidade indicadas no Passo 2.

Passo 4

Escrever explicitamente a matriz das componentes da métrica nessa tetrade ortonormal.
Pelo fato de que
g(\vec e_{0},\vec e_{0})=-1, \qquad g(\vec e_{i},\vec e_{j})=\delta_{ij}, \qquad g(\vec e_{0},\vec e_{i})=0,
as componentes \eta_{\alpha\beta}=g(\vec e_{\alpha},\vec e_{\beta}) formam a matriz diagonal cujas entradas são -1 para \alpha=\beta=0 e +1 para \alpha=\beta=1,2,3. Assim
\eta_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\operatorname{diag}(-1,1,1,1).
Explicação concreta: a escolha de \vec e_0 como vetor de tempo unitário coloca o elemento (0,0) da matriz igual a -1; a escolha dos \vec e_i espaciais normalizados coloca os elementos espaciais diagonais iguais a +1; a ortogonalidade zera todos os elementos mistos fora da diagonal.]

Passo 5

Mostrar que isto vale para qualquer observador inercial (invariância sob mudança de base entre tetrades inerciais).
Caracterização das mudanças de base entre observadores inerciais: duas tetrades inerciais \{\vec e_\alpha\} e \{\vec e'_\alpha\} estão relacionadas por uma transformação linear \Lambda de 4×4:
\vec e'_{\alpha}=\Lambda^{\beta}{}_{\alpha}\,\vec e_{\beta}.
Como se transformam as componentes da métrica sob essa mudança de base:
\eta'_{\alpha\beta}=g(\vec e'_{\alpha},\vec e'_{\beta}) =\Lambda^{\mu}{}_{\alpha}\Lambda^{\nu}{}_{\beta}\,g(\vec e_{\mu},\vec e_{\nu}) =\Lambda^{\mu}{}_{\alpha}\Lambda^{\nu}{}_{\beta}\,\eta_{\mu\nu}.
Em notação matricial isso é
\eta'=\Lambda^{T}\,\eta\,\Lambda.
Propriedade das transformações entre observadores inerciais: escolhemos \{\vec e_{\alpha}\} ortonormal, então as transformações que levam uma tetrade ortonormal em outra precisam preservar os produtos internos; ou seja, devem satisfazer
\Lambda^{T}\,\eta\,\Lambda=\eta.
Essas \Lambda são exatamente as transformações de Lorentz (incluindo rotações espaciais e boosts).
Consequência: se \eta tem a forma \operatorname{diag}(-1,1,1,1) numa tetrade ortonormal, então para qualquer outra tetrade inercial obtida por \Lambda essa igualdade garante \eta'=\eta. Portanto todos os observadores inerciais descrevem a mesma matriz diagonal \operatorname{diag}(-1,1,1,1).

Passo 6

Comentário alternativo e reforço (invariância da assinatura): a propriedade usada acima é uma instância de um fato linear-algébrico geral (Lei de Sylvester): o número de autovalores positivos, negativos e nulos de uma forma bilinear simétrica é invariante sob transformações de congruência M^{T}gM. Em particular a métrica de Minkowski tem exatamente um autovalor negativo e três positivos (assinatura (-,+,+,+)), e essa contagem não muda quando se troca de base por transformações invertíveis. Assim qualquer base ortonormal adequada exibirá a matriz diagonal com exatamente um -1 e três +1. Este é apenas outro modo de entender por que a assinatura é a mesma para todos os observadores inerciais.

Passo 7

Conclusão final: adotando uma base cartesiana/ortonormal em Minkowski (com \left(\vec{e}_{\alpha}\right)^{\beta}=\delta_{\alpha}{}^{\beta} e normalizações g(\vec e_0,\vec e_0)=-1, g(\vec e_i,\vec e_j)=\delta_{ij}), as componentes da métrica nessa base são
\eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(-1,1,1,1),
e essa forma é preservada por quaisquer mudanças de tetrade entre observadores inerciais (transformações de Lorentz).

Resposta

\eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)

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