Mostre, com um exemplo, que
\log (a-b) \neq \log (a)-\log (b)

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre, com um exemplo concreto, que
\log(a-b)\neq \log(a)-\log(b).
Informações/dominios relevantes que o enunciado implica:
  • Os logaritmos devem estar bem definidos: isto exige que a>0, b>0 e a-b>0. Assim precisamos de a>b>0.
  • A base do logaritmo deve ser a mesma em ambos os membros e diferente de 1 (por exemplo base e ou base 10). Vou assumir uma base fixa >1; as propriedades usadas valem para qualquer base comum.

Passo 2

Propriedades e fatos que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Regra da diferença de logaritmos: para a>0 e b>0,
\log(a)-\log(b)=\log\!\biggl(\dfrac{a}{b}\biggr).
Explicação: a função exponencial é inversa do logaritmo; subtrair logaritmos corresponde a dividir os argumentos, por isso aparece \dfrac{a}{b}.
  • Monotonicidade do logaritmo: se a base do logaritmo é maior que 1, então a função x\mapsto\log x é estritamente crescente no domínio x>0. Logo, para x_1,x_2>0,
\log(x_1)=\log(x_2)\quad\Longleftrightarrow\quad x_1=x_2.
Explicação: como o log é estritamente crescente, valores diferentes de entrada dão logs diferentes; assim comparar logs é o mesmo que comparar os argumentos.
Conclusão prática: mostrar que \log(a-b)\neq\log(a)-\log(b) é equivalente (quando ambos os lados estão definidos) a mostrar que
a-b \neq \dfrac{a}{b}.
Porque, usando a regra acima,
\log(a)-\log(b)=\log\!\biggl(\dfrac{a}{b}\biggr),
e então, se \log(a-b)=\log(a)-\log(b) ocorreria \log(a-b)=\log\!\biggl(\dfrac{a}{b}\biggr) e, pela monotonicidade, a-b=\dfrac{a}{b}. Portanto basta dar um exemplo com a>b>0 em que a-b\neq \dfrac{a}{b}.

Passo 3

Escolho um exemplo simples que satisfaça a>b>0: tome a=5 e b=2. Esses valores cumprem o domínio porque 5>2>0 e 5-2=3>0.
Calculemos os dois lados (usando a identidade indicada):
  • Lado esquerdo:
\log(a-b)=\log(5-2)=\log 3.
  • Lado direito, usando \log(a)-\log(b)=\log\!\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr):
\log(a)-\log(b)=\log 5 - \log 2=\log\!\biggl(\dfrac{5}{2}\biggr)=\log\!\bigl(2{,}5\bigr).

Passo 4

Comparação e conclusão do exemplo:
  • Observe que 3\neq 2{,}5.
  • Como a função logaritmo (com base >1) é estritamente crescente, de 3\neq 2{,}5 segue imediatamente que
\log 3 \neq \log\!\bigl(2{,}5\bigr).
Portanto, com a=5 e b=2 obtemos um exemplo concreto onde
\log(5-2)=\log 3 \neq \log 5 - \log 2.

Passo 5

Comentário adicional (útil para a prova): em geral a identidade \log(a-b)=\log(a)-\log(b) não é válida; ela só ocorreria em casos especiais que resolvem
a-b=\dfrac{a}{b}.
Se for preciso, isso pode ser escrito como a equação quadrática em b:
b^{2}-ab+a=0,
cuja existência de soluções positivas depende de a. Por exemplo, para a=4 a equação tem solução b=2 e, de fato, para a=4,b=2 \log(4-2)=\log 2 e \log 4-\log 2=\log(4/2)=\log 2, ou seja, há situações especiais de igualdade. Mas, novamente, isso é exceção; a regra geral é que a identidade proposta não vale.

Resposta

Por exemplo, a=5 e b=2: \log(5-2)=\log 3 \neq \log 5 - \log 2 = \log\!\bigl(2{,}5\bigr).

Exercícios relacionados