Mostre, com um exemplo, que
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre, com um exemplo concreto, que
Informações/dominios relevantes que o enunciado implica:
- Os logaritmos devem estar bem definidos: isto exige que
, e . Assim precisamos de . - A base do logaritmo deve ser a mesma em ambos os membros e diferente de
(por exemplo base ou base ). Vou assumir uma base fixa ; as propriedades usadas valem para qualquer base comum.
Passo 2
Propriedades e fatos que vamos usar (explicados de forma didática):
- Regra da diferença de logaritmos: para
e ,
Explicação: a função exponencial é inversa do logaritmo; subtrair logaritmos corresponde a dividir os argumentos, por isso aparece
.
- Monotonicidade do logaritmo: se a base do logaritmo é maior que
, então a função é estritamente crescente no domínio . Logo, para ,
Explicação: como o log é estritamente crescente, valores diferentes de entrada dão logs diferentes; assim comparar logs é o mesmo que comparar os argumentos.
Conclusão prática: mostrar que
é equivalente (quando ambos os lados estão definidos) a mostrar que
Porque, usando a regra acima,
e então, se
ocorreria
e, pela monotonicidade,
. Portanto basta dar um exemplo com
em que
.
Passo 3
Escolho um exemplo simples que satisfaça
: tome
e
. Esses valores cumprem o domínio porque
e
.
Calculemos os dois lados (usando a identidade indicada):
- Lado esquerdo:
- Lado direito, usando
:
Passo 4
Comparação e conclusão do exemplo:
- Observe que
. - Como a função logaritmo (com base
) é estritamente crescente, de segue imediatamente que
Portanto, com
e
obtemos um exemplo concreto onde
Passo 5
Comentário adicional (útil para a prova): em geral a identidade
não é válida; ela só ocorreria em casos especiais que resolvem
Se for preciso, isso pode ser escrito como a equação quadrática em
:
cuja existência de soluções positivas depende de
. Por exemplo, para
a equação tem solução
e, de fato, para
dá
e
, ou seja, há situações especiais de igualdade. Mas, novamente, isso é exceção; a regra geral é que a identidade proposta não vale.
Resposta
Por exemplo,
e
:
.