1. Mostre com um exemplo numérico que \sqrt{a^{2}+b^{2}} \neq a+b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando um exemplo numérico, que \sqrt{a^{2}+b^{2}}\neq a+b.
Informações dadas: nenhuma restrição sobre a e b; só é necessário apresentar um par de números a e b que comprove a desigualdade.

Passo 2

Escolho números simples e familiares para facilitar as contas sem calculadora. Vou tomar a=3 e b=4. Esses valores são ótimos porque 3 e 4 têm quadrados inteiros fáceis de calcular e já conhecemos que 3, 4, 5 formam um triângulo retângulo (Pitagoras), o que ajuda a ver a diferença rapidamente.

Passo 3

Calculo os quadrados de a e b:
a^{2}=3^{2}=9,\qquad b^{2}=4^{2}=16.

Passo 4

Somando os quadrados e extraindo a raiz quadrada:
\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 5

Calculo agora a soma direta a+b:
a+b=3+4=7.

Passo 6

Comparo os dois resultados: \sqrt{a^{2}+b^{2}}=5 e a+b=7. Portanto
\sqrt{a^{2}+b^{2}}=5\neq 7=a+b,
ou seja, o exemplo numérico mostra que \sqrt{a^{2}+b^{2}}\neq a+b.

Passo 7

Breve explicação teórica (útil para a prova): por que, em geral, não são iguais? Se a e b forem números reais não negativos, comparar as quantidades ao quadrado é simples: a igualdade \sqrt{a^{2}+b^{2}}=a+b implicaria
a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},
o que leva a
2ab=0\quad\Rightarrow\quad ab=0.
Assim, para a,b\ge 0 a igualdade só ocorre quando pelo menos um dos dois é zero. No nosso exemplo a=3 e b=4 têm produto ab\neq0, então não há igualdade. Isso também dá uma dica rápida na prova: a menos que um dos termos seja zero (ou haja sinais que façam a+b negativo enquanto a raiz é não negativa), não espere igualdade.

Resposta

\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\neq 7=3+4

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